Delannoy 数

Delannoy 数是一种组合数，用来计算在一个矩形网格中，从起点走到终点的所有路径数。它的独特之处在于允许三种移动方式。

在整数网格上，从原点 \((0,0)\) 走到点 \((m,n)\)，每一步可以：

• 向右走一步：\((x,y) \to (x+1,y)\)。
• 向上走一步：\((x,y) \to (x,y+1)\)。
• 向右上走一步：\((x,y) \to (x+1,y+1)\)。

走法总数记为 \(D(m,n)\)，就是 Delannoy 数。

显然 \(D(m,n)\) 是可以通过递推得到的，但是时间复杂度为 \(O(mn)\)。

但是 Delannoy 数有一个通项公式：

\[D(m,n) = \sum_{k = 0}^{min(m,n)} \binom{m}{k} \binom{n}{k} 2^k \]

感性理解：如果决定在路径中走 \(k\) 步对角线，那么就要从横向步数中选 \(k\) 步，从纵向步数中也选 \(k\) 步，与这 \(k\) 步对角线合并。而每一个对角线步，都可以看作先横后纵或先纵后横，所以乘上 \(2^k\)。

于是我们就可以预处理组合数和 \(2\) 的幂次，然后直接计算，时间复杂度 \(O(\min(m,n))\)。