自动控制：频率域方法

目录

• 频率特性
  • 控制系统在正弦信号作用下的稳态输出
  • 频率特性定义
  • 频率特性的几何表示方法
    • 幅频特性、相频特性、幅相特性
    • 对数频率特性
• 典型环节的频率特性
  • 比例环节（放大环节）
  • 积分环节
  • 惯性环节（一阶系统）
  • 振荡环节（二阶系统）
    • 幅频特性、相频特性、幅相特性
  • 微分环节
  • 一阶微分环节
  • 延迟环节
• 系统的开环频率特性
  • 开环幅相特性曲线
    • 曲线绘制
    • 特点
  • 开环对数频率特性曲线绘制
• 频率稳定判据
  • 奈奎斯特稳定判据
    • 辐角原理
    • 奈氏判据
  • 对数频率稳定判据
  • 稳定裕度
• 闭环频率特性与阶跃响应的关系
  • 等M圆图，等N圆图
    • 等M圆图
    • 等N圆图
  • 尼科尔斯图（N.B. Nichols）
  • 用闭环幅频特性分析、估算系统性能
• 开环频率特性与阶跃响应的关系
  • 低频段
  • 中频段
  • 高频段
• 参考

频率特性

控制系统在正弦信号作用下的稳态输出

对于n阶线性定常系统的闭环传递函数：

\[\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0s^m+\cdots+b_m}{s^n+\cdots+a_n}=\frac{b_0s^m+\cdots+b_m}{(s-s_1)\cdots(s-s_n)} \tag{1} \]

其中，\(s_n,\cdots,s_n\) 闭环n个互异特征根.

设输入信号 \(r(t)=A_rsin \omega t\)（正弦信号）
其中，\(A_r\) 正弦输入振幅，\(\omega\) 正弦输入角频率.

拉氏变换：

\[R(s) = \frac{A_r\omega}{s^2+\omega^2} \tag{2} \]

输出：

\[\begin{aligned} C(s) &=\Phi(s)R(s)=\frac{b_0s^m+\cdots+b_m}{(s-s_1)\cdots(s-s_n)}\cdot \frac{A_r\omega}{s^2+\omega^2} \\ &= \frac{C_1}{s-s_1}+\cdots+\frac{C_n}{s-s_n}+\frac{B}{s+j\omega}+\frac{D}{s-j\omega} \\ &=\sum\limits_{i=1}^n \frac{C_i}{s-s_i} +\frac{B}{s+j\omega}+\frac{D}{s-j\omega} \end{aligned} \tag{3} \]

其中，\(C_i,B,D\) 都是待定系数.

对(3)进行拉氏反变换，系统输出响应：

\[c(t)=\sum_{i=1}^n C_ie^{s_it}+(Be^{-j\omega t} + De^{j\omega t}) = c_t(t)+c_s(t) \tag{4} \]

其中，\(c_t(t)\)系统瞬态分量，如果系统是稳定的，特征根\(s_i\)都有负实部，且\(\lim\limits_{t\to \infty}c_t(t)=0\)；

\[c_t(t)=\sum_{i=1}^n C_ie^{s_it} \tag{5} \]

\(c_s(t)\)系统稳态分量，需要求解的部分.

\[c_s(t)=Be^{-j\omega t}+De^{j\omega t} \]

下面推导B、D值.

根据留数法，要求 B，就用\((s+j\omega\)乘以\(C(s)\)，然后令\(s=-j\omega\)（把这个极点“盖掉”）.

\[\begin{aligned} B &= [(s+j\omega)\cdot C(s)]_{s=-j\omega}\\ \because C(s) &= \Phi(s)R(s)=\Phi(s)\cdot \frac{A_r\omega}{s^2+\omega^2} \\ \therefore B &= [(s+j\omega)\cdot \Phi(s)\cdot \frac{A_r\omega}{s^2+\omega^2}]_{s=-j\omega} \\ &= [(s+j\omega)\cdot \Phi(s)\cdot \frac{A_r\omega}{(s+\omega)(s-\omega)}]_{s=-j\omega} \\ &= [\Phi(s)\cdot \frac{A_r\omega}{s-\omega}]_{s=-j\omega} \\ &= \Phi(-j\omega)\cdot \frac{A_r\omega}{-2j\omega}\\ &= \Phi(-j\omega)\cdot \frac{A_r}{-2j} \end{aligned} \]

对于线性系统，频率响应\(\Phi(j\omega)\)是一个复数，可写成极坐标形式：

\[\Phi(j\omega) = |\Phi(j\omega)|e^{j∠\Phi(j\omega)} \]

\(\Phi(-j\omega), \Phi(j\omega)\) 互为共轭复数，所以，

\[\Phi(-j\omega) = |\Phi(j\omega)|e^{-j∠\Phi(j\omega)} \]

∴

\[B=\Phi(-j\omega)\cdot \frac{A_r}{-2j}=|\Phi(j\omega)|e^{-j∠\Phi(j\omega)}\cdot \frac{A_r}{-2j} \]

∵\(\frac{1}{j}=-j\)
∴\(\frac{1}{-2j}=\frac{j}{2}=\frac{1}{2}e^{j\frac{\pi}{2}}\)（\(\frac{\pi}{2}\)代表与实轴角度）
∴

\[\begin{aligned} B &= |\Phi(j\omega)|e^{-j∠\Phi(j\omega)}\cdot \frac{A_r}{-2j} \\ &= |\Phi(j\omega)|e^{-j∠\Phi(j\omega)}\cdot A_r\cdot \frac{1}{2}e^{j\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{|\Phi(j\omega)|}{2} A_r e^{-j[∠\Phi(j\omega)-\frac{\pi}{2}]} \end{aligned} \]

同理，

\[D=\frac{|\Phi(j\omega)|}{2} A_r e^{j[∠\Phi(j\omega)-\frac{\pi}{2}]} \]

将B、D值代入(5)，

\[\begin{aligned} c_s(t) &= |\Phi(j\omega)| A_r (e^{-j(\omega t+∠\Phi(j\omega)-\frac{\pi}{2})} + e^{j(\omega t+∠\Phi(j\omega)-\frac{\pi}{2})}) \\ &\xlongequal{ 欧拉公式} |\Phi(j\omega)| A_r cos (\omega t + ∠\Phi(j\omega) - \frac{\pi}{2}) \\ &= |\Phi(j\omega)| A_r sin (\omega t + ∠\Phi(j\omega)) \\ &= A_c sin(\omega t+\varphi) \end{aligned} \tag{6} \]

其中，稳态输出的振幅 \(A_c = |\Phi(j\omega)| A_r\) ，相位 \(\varphi = ∠\Phi(j\omega)\)；输入的振幅\(A_r\)，相位\(0\).

由上式可知，对于线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量是和输入同频率的正弦信号，输出的振幅、相位与输入不同.

频率特性定义

对于线性定常系统，在输入端加正弦信号后，

幅频特性 \(A(\omega)\)：稳态输出的振幅与输入振幅之比.

\[A(\omega) = \frac{A_c}{A_r}=\frac{|\Phi(j\omega)|A_r}{A_r} = |\Phi(j\omega)| \tag{7} \]

相频特性 \(\varphi(\omega)\)：稳态输出的相位与输入相位之差.

\[\varphi(\omega) = [\omega t + \angle \Phi(j\omega)] - \omega t = \angle \Phi(j\omega) \tag{8} \]

幅频\(A(\omega)\)，相频 \(\varphi(\omega)\) 统称 幅相频率特性.

\[A(\omega)e^{j\phi(\omega)} = |\Phi(j\omega)|e^{j∠\phi(j\omega)} = \Phi(j\omega) \tag{9} \]

如果用相量法表示输入、输出的正弦函数（输入\(A_re^{j0}\)，输出\(A_ce^{j\varphi}\)），则输出、输入的复数比：

\[\frac{A_c e^{j\varphi}}{A_r e^{j\theta}} = \frac{A_c}{A_r} e^{j\varphi} = A(\omega) e^{j\varphi(\omega)} = |\Phi(j\omega)| e^{j\angle \Phi(j\omega)} \]

定义：

线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性. 即幅相频率特性，简称幅相特性.

频率特性与传递函数关系：

\[\Phi(s)|_{s=j\omega}=\Phi(j\omega)=|\Phi(j\omega)|e^{j∠\Phi(j\omega)} \]

下面以一个经典的RC网络为例，来求频率特性：

解：

设电阻 R 和电容 C 串联，输入\(U_i(s)\)，输出为电容两端电压\(U_i(s)\).

1）先推导传递函数

电阻的复阻抗：\(Z_R=R\)
电容的复阻抗：\(Z_C=\frac{1}{Cs}\)

由串联分压原理，输出电压（电容两端电压）：

\[\begin{aligned} U_c(s) &= U_i(s)\cdot \frac{Z_C}{Z_R+Z_C} \\ &= U_i(s)\cdot \frac{\frac{1}{Cs}}{Z_R+\frac{1}{Cs}} \\ &= U_i(s)\cdot \frac{1}{RCs+1} \end{aligned} \]

∴

\[G(s)=\frac{U_c(s)}{U_i(s)}=\frac{1}{RCs+1}=\frac{1}{Ts+1} \tag{10} \]

其中，\(T=RC\).

用\(j\omega\)替换s，可得频率特性：

\[G(s)|_{s=j\omega}=G(j\omega)=\frac{1}{Tj\omega + 1} \tag{11} \]

所以，幅频特性：

\[A(\omega)=|G(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{(T\omega)^2+1}} \tag{12} \]

相频特性：

\[∠(1+jT\omega)=arctan(\frac{虚部}{实部})=arctan(\frac{T\omega}{1})=arctan(T\omega) \]

∴由复数幅角的运算法则：\(∠\frac{Z_1}{Z_2}=∠Z_1-∠Z_2\)

\[\varphi(\omega) = ∠G(j\omega) = ∠(\frac{1}{1+jT\omega}) = -∠(1+jT\omega) = -arctan T\omega \tag{13} \]

频率特性的几何表示方法

通常将频率特性画成一些曲线，通过曲线研究系统，常用曲线：幅频特性曲线，相频特性曲线，幅相特性曲线，对数频率特性曲线.

以前面RC网络为例，画这组曲线

幅频特性、相频特性、幅相特性

由(11)知，RC网络的频率特性：

\[G(j\omega)=\frac{1}{Tj\omega+1}=\frac{1}{\sqrt{(Tj\omega)^2+1}}e^{-jarctan \, T\omega} \]

其中，\(T=RC\)

RC网络的幅频、相频随输出正弦频率\(\omega\)变化的数据：

	\(\omega\)	0	\(\frac{1}{2T}\)	\(\frac{1}{T}\)	\(\frac{2}{T}\)	\(\frac{3}{T}\)	\(\frac{4}{T}\)	\(\frac{5}{T}\)	\(\infty\)
幅频特性	\(1/\sqrt{(T\omega)^2 + 1}\)	1	0.89	0.707	0.45	0.32	0.24	0.2	0
相频特性	\(-\arctan{T\omega(^\circ)}\)	0	-26.6	-45	-63.5	-71.5	-76	-78.7	-90

幅频特性曲线：

幅频\(A(\omega)\)随频率\(\omega\)变化的曲线，称为幅频特性曲线.

相频特性曲线：

相频\(\varphi(\omega)\)随频率\(\omega\)变化的曲线，称为相频特性曲线.

幅相特性曲线：

将频率\(\omega\)作为参考量，将幅频、相频特性同时表示在复数平面上的曲线，称为幅相特性曲线.

正实轴为相角的零度线，逆时针方向为正，顺时针方向为负. 一个确定的频率，必有一个幅频的幅值和一个相频的相角与之对应.

当\(\omega\)从0到\(\infty\)时，可在复数平面上画出一组向量，将这组矢端（向量的端点）连成一条曲线，称为 幅相特性曲线，也称 奈奎斯特曲线.

为什么 RC 低通网络幅相曲线是半圆？

RC网络传递函数：\(G(s)=\frac{1}{Ts+1}\)
令\(s=j\omega\)，得频率特性：

\[\begin{aligned} G(j\omega) &= \frac{1}{1+j\omega T} \\ &= \frac{1-j\omega T}{(1+j\omega T)(1-j\omega T)} = \frac{1-j\omega T}{1+(\omega T)^2} \\ &= \frac{1}{1+(\omega T)^2} - j\frac{\omega T}{1+(\omega T)^2} \end{aligned} \]

令实部\(u=\frac{1}{1+(\omega T)^2}\)，虚部\(v=-\frac{\omega T}{1+(\omega T)^2}\)
所以，

\[(u-\frac{1}{2})^2+v^2=(\frac{1}{2})^2 \]

这是一个圆的方程. 圆心：\((\frac{1}{2}, 0)\)，半径：\(\frac{1}{2}\)

虚部\(v=-\frac{\omega T}{1+(\omega T)^2}\)
而角频率\(\omega > 0, T=RC > 0\)，所以，\(v < 0\) 即虚部 < 0 => 只能取 x 轴下面半圆.

对数频率特性

对数频率特性曲线，又称 伯德（Bode）图，包括对数幅频、对数相频 2条曲线.

1）对数幅频特性

纵坐标\(L(\omega)\)（单位分贝，dB）表示：

\[L(\omega) = 20\lg A(\omega) [dB] \]

横坐标按\(\lg \omega\) 刻度，但标注的是 真数 \(\omega\). i.e. 频率增加10倍，横坐标变化1个单位，称为“十倍频程”.

2）对数相频特性

纵坐标 相频特性\(\varphi(\omega)\)值，线性刻度，单位“度”.

横坐标 \(\lg \omega\)刻度，标注的是 真数 \(\omega\). （同对数幅频特性）

典型环节的频率特性

控制系统的开环频率特性，通常由各个典型环节的频率特性组成.

常见典型环节的频率特性：

比例环节（放大环节）

传递函数：

\[G(s)=K \tag{14} \]

幅相特性：

\[G(j\omega)=K=Ke^{j0} \tag{15} \]

写成\(Ke^{j0}\)是为了体现幅值、相位.

1）幅频特性：

\[A(\omega)=K \]

2）相频特性

\[\varphi(\omega) = 0° \]

3）对数幅频特性

\[L(\omega)=20\lg A(\omega) = 20\lg K \]

积分环节

传递函数：

\[G(s)=\frac{1}{s} \tag{16} \]

1. 幅频特性、相频特性、幅相特性

频率特性：

\[G(j\omega)=\frac{1}{j\omega} \tag{17} \]

1）幅频特性

\[A(\omega) = \frac{1}{\omega} \tag{18} \]

2）相频特性

\[\varphi(\omega)=-\frac{\pi}{2} \tag{19} \]

3）幅相特性

\[G(j\omega)=\frac{1}{j\omega}=\frac{1}{\omega}e^{-j\pi/2} \]

积分环节的幅频特性为双曲线，\(\omega: 0\to \infty\)时，\(A(0)\)由\(\infty \to 0\).

相频特性与频率\(\omega\)无关，是常值\(-\frac{\pi}{2}\).

积分环节幅频、相频、幅相特性曲线：

2. 对数频率特性

1）对数幅频特性

\[L(\omega)=20\lg A(\omega)=20\lg \frac{1}{\omega}=-20\lg \omega \tag{20} \]

\(\omega=0.1\)时，\(L(\omega)=20dB\)

\(\omega=1\)时，\(L(\omega)=0dB\)

\(\omega=10\)时，\(L(\omega)=-20dB\)

所以，积分环节的对数幅频特性，是一条通过横坐标\(\omega =1\)处的斜率为-20dB/十倍频程的直线.

2）对数相频特性

\[\varphi(\omega)=-\frac{\pi}{2} \]

积分环节的对数幅频与对数相频特性曲线：

惯性环节（一阶系统）

传递函数：

\[G(s)=\frac{1}{Ts+1} \tag{21} \]

微分方程：

\[T \dot{y}(t) + y(t) = u(t) \]

物理含义：输出跟不上输入，存在滞后、惯性，好比物体有质量、电容充电，变化总是慢一拍.

频率特性：

\[G(j\omega)=\frac{1}{Tj\omega+1} \tag{22} \]

1. 幅频特性、相频特性、幅相特性

1）幅频特性

\[A(\omega)=|G(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{(T\omega)^2+1}} \tag{23} \]

2）相频特性

\[\varphi(\omega)=∠G(j\omega)=-\arctan \, T\omega \tag{24} \]

3）幅相特性

\[G(j\omega)=\frac{1}{Tj\omega+1}=\frac{1}{\sqrt{(T\omega)^2+1}}e^{-j\arctan \, T\omega} \tag{25} \]

\(\omega: 0\to \infty\)，相应幅频特性、相频特性、幅相特性曲线：

惯性环节的时间常数T越大，动态过程的快速性越差. 反映在幅频特性上，\(A(\omega)\)随外加信号的角频率\(\omega\)的增加很快衰减. 所以，\(A(\omega)\)衰减快慢，是衡量惯性环节动态响应快速性的重要标志.

2. 对数频率特性

由(23)，\(A(\omega)=|G(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{(T\omega)^2+1}}\)

而对数幅频、相频：

\[L(\omega)=20\lg A(\omega)=20\lg \frac{1}{\sqrt{(T\omega)^2+1}}-20\lg \sqrt{(T\omega)^2+1} \tag{27} \]

\[\varphi(\omega)=-arctan \, T\omega \tag{28} \]

给定不同\(\omega\)值，可求得对应的对数幅频的分贝值、相角\(\varphi(\omega)\)值.

振荡环节（二阶系统）

振荡环节（又称二阶振荡环节）指能用二阶微分方程描述，且在阶跃信号输入下，输出会表现出周期性衰减或等幅波动的动态系统.

传递函数：

\[G(s)=\frac{\omega_\mathrm{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_\mathrm{n} s+\omega_\mathrm{n}^{2}} \tag{31} \]

其中，\(\zeta \in(0, 1)\) 振荡环节的阻尼比（决定振荡形态的关键参数）；
\(\omega_n\) 振荡环节的自然振荡频率（系统本身的固有频率）.

阻尼比\(\zeta\)可理解为系统在震荡时，对抗震荡能力的“强弱指标”：

• \(\zeta=0\)（无阻尼）：系统一旦受到扰动，会永远等幅振荡下去，永不停止（理想状态，现实中极少见）；
• \(0 < \zeta < 1\)（欠阻尼）：最典型的振荡环节，系统会先冲过头（超调），然后像弹簧一样来回摆动，但摆动幅度会逐渐衰减，最终稳定下来；
• \(\zeta=1\)（临界阻尼）：系统刚好不振荡，以最快速度到达稳态且不超调；
• \(\zeta>1\)（过阻尼）：系统不振荡，响应非常缓慢，像在糖浆里运动.

只有\(\zeta < 1\)才是真正意义振荡环节，\(\zeta \ge 1\)时，退化为“惯性环节”的组合，不产生振荡.

\[G(\mathrm{j}\omega)=\frac{\omega_\mathrm{n}^{2}}{(\mathrm{j}\omega)^{2}+2\zeta\omega_\mathrm{n}\mathrm{j}\omega+\omega_\mathrm{n}^{2}} =\frac{\omega_\mathrm{n}^{2}}{\left(\omega_\mathrm{n}^{2}-\omega^{2}\right)+\mathrm{j}2\zeta\omega_\mathrm{n}\omega} \tag{32} \]

幅频特性、相频特性、幅相特性

1. 幅频特性

\[\begin{aligned} A(\omega)=\left|G(j\omega)\right|&=\frac{\omega_n^{2}}{\sqrt{\left(\omega_n^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\left(2\zeta\omega_n\omega\right)^{2}}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{\left[1-\left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^{2}\right]^{2}+\left(2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}\right)^{2}}} \end{aligned} \tag{33} \]

\(\omega: 0\to \infty\)时，可求得相应\(A(\omega)\)值

\[\begin{aligned} \omega &= 0 & A(0) &= 1 \\ \omega &= \omega_n & A(\omega_n) &= \frac{1}{2\zeta} \\ \omega &= \infty & A(\infty) &= 0 \end{aligned} \]

振荡环节的\(A(\omega),\varphi(\omega)\)随\(\omega\)变化曲线：

注意：这是2组曲线，纵轴含义不同，分别是\(A(\omega), \varphi(\omega)\)

当\(\omega: 0\to \infty\)时，振荡环节幅频\(A(\omega)\)从1开始，最终衰减到0.

阻尼比\(\zeta\)较小时，有谐振峰值出现，峰值对应频率称为谐振频率，计算方法：

\[\frac{dA(\omega)}{d\omega} = 0 \tag{34} \]

可解出谐振频率：

\[\omega_m = \omega_n \sqrt{1-2\zeta^2}(0<\zeta<\frac{\sqrt 2}{2}) \tag{35} \]

将\(\omega_m\)代入\(A(\omega)\)式子(33)，得谐振峰值：

\[A_m=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-\zeta^2}} \tag{36} \]

可知振荡环节谐振峰值只与阻尼比\(\zeta\)有关，与\(\omega_n\)无关.

由曲线图，
当\(\zeta > 0.707\, (\sqrt 2/2)\)时，\(A(\omega)\) 单调衰减，无峰值；
当\(\zeta < 0.707\)时，\(A_m > 1, \omega_m > 0\)；
当\(\zeta = 0.707\)时，\(A_m = 1, \omega_m = 0\)；
当\(\zeta = 0\)时，\(A_m \to \infty, \omega_m = \omega_n\)（振荡环节的自然振荡频率）；

这表明：阻尼比\(\zeta = 0\)时，外加正弦信号频率\(\omega_n\) = 振荡环节自然振荡频率\(\omega_m\)，引起环节共振，环节处于临界稳定状态.

阻尼比越小，峰值越大，系统平稳性越差，超调量越大；如果去最佳阻尼比（\(\zeta=0.707\)），阶跃响应既快又稳，比较理想.（与时域分析法结论一致）.

共振：系统在周期性外力（或输入信号）的作用下，当外力的频率接近或等于系统的固有（自然）频率时，系统会以极大的振幅进行振动的现象. 此时，即使外加的力很小，系统也能产生巨大的振荡响应（振幅远大于静态或低频时的响应）.

2. 相频特性

\[\varphi(\omega)=∠G(j\omega)=-\arctan\frac{2\zeta \frac{\omega}{\omega_n}}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2} \tag{37} \]

\(\omega_n\)是固定值，\(\omega: 0\to \infty\)时，可求得相应\(\varphi(\omega)\)值.

\(\omega=0\)时，\(\varphi(0)=0\)
\(\omega=\omega_n\)时，\(\varphi(\omega_n)=-\dfrac{\pi}{2}\)
\(\omega=\infty\)时，\(\varphi(\infty)=-\pi\)

振荡环节的相频特性曲线与阻尼比\(\zeta\)有关，不同阻尼比值，可给出一组相频特性曲线（如上图）.

频率特性的2个特征点：

1）\(\omega=\omega_n\)（自然频率点）

\[A(\omega_n)=\frac{1}{2\zeta} \\ \varphi(\omega_n)=-\frac{\pi}{2} \tag{38} \]

2）\(\omega=\omega_m\)（谐振频率点）.

\[\omega=\omega_m=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2} \\ A_m=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \tag{39} \]

3. 幅相特性

由(32)，

\[G(j\omega)=\frac{1}{\sqrt{\bigg[1- \left(\frac{\omega}{\omega_n} \right)^2 \bigg]^2 + \bigg(2\zeta \frac{\omega}{\omega_n} \bigg)^2}} e^{-\arctan \frac{2\zeta \frac{\omega}{\omega_n}}{1 - \left(\frac{\omega}{\omega_n} \right)^2}} \tag{40} \]

\(\omega = 0\) 时，\(G(j0) = 1 \angle 0\)

\(\omega = \omega_n\) 时，\(G(j\omega_n) = \frac{1}{2\zeta} \angle -\frac{\pi}{2}\)

\(\omega = \infty\) 时，\(G(j\infty) = 0 \angle -\pi\)

微分环节

传递函数：

\[G(s)=s \tag{45} \]

频率特性：

\[G(j\omega) = j\omega \tag{46} \]

\[\begin{cases} A(\omega) = |G(j\omega)| = \omega \\ \varphi(\omega) = \angle G(j\omega) = \dfrac{\pi}{2} \\ L(\omega) = 20\lg A(\omega) = 20\lg \omega \end{cases} \tag{47} \]

对比微分环节和积分环节的频率特性：

环节	传递函数 \( G(s) \)	幅频 \( A(\omega) \)	对数幅频 \( L(\omega) = 20 \lg A(\omega) \)	相频 \( \varphi(\omega) \)
微分环节	\( s \)	\( \omega \)	\( +20 \lg \omega \)	\( +\frac{\pi}{2} \ ( +90^\circ ) \)
积分环节	\( 1/s \)	\( 1/\omega \)	\( -20 \lg \omega \)	\( -\frac{\pi}{2} \ ( -90^\circ ) \)

可知，对数幅频、相频曲线相对于频率轴（\(\omega\)轴）互为镜像.

微分环节的幅频、相频、对数频率曲线：

一阶微分环节

传递函数：

\[G(s)=\tau s + 1\tag{48} \]

频率特性：

\[G(j\omega) = \tau j\omega + 1 \tag{49}\]

\[A(\omega) = |G(j\omega)| = \sqrt{(\tau\omega)^2 + 1}\]

\[\varphi(\omega) = \angle G(j\omega) = \arctan \tau\omega \tag{50}\]

\[L(\omega) = 20 \lg A(\omega) = 20 \lg \sqrt{(\tau\omega)^2 + 1} \tag{51}\]

对数幅频、对数相频特性，与惯性环节的只差一个符号，所以对应曲线相对于频率轴互为镜像.

对数频率特性曲线：

延迟环节

实际系统，有些部件有延迟特性，即输出量与输入量的变化规律相同，只是在时间上有滞后. 如果输入量\(r(t)\)，则输出量：

\[c(t) = r(t-\tau) \tag{61} \]

其中，\(\tau\) 滞后时间或延迟时间，通常从几ms到几分钟.

具有(61)性质的部件，称为延迟环节.

设输出\(r(t)\)想函数\(R(s)\)，由拉氏变换的延迟定理，可得，

\[C(s)=R(s)e^{-\tau s} \tag{62} \]

所以传递函数：

\[G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=e^{-\tau s} \tag{63} \]

令\(s=j\omega\)，求频率特性：

\[G(j\omega)=e^{-\tau j\omega} = 1\cdot e^{j(-\tau\omega)} \tag{64} \]

幅频 \(A(\omega)=|G(j\omega)|=1\)
相频 \(\varphi(\omega)=\angle G(j\omega)=-\tau \omega\)
对数幅频 \(L(\omega)=20\lg A(\omega) = 20\lg 1=0dB\)

系统的开环频率特性

系统开环频率特性曲线分为：开环幅相特性曲线，开环对数频率特性曲线.

开环幅相特性曲线

设系统的开环传递函数由若干典型环节相串联：

\[G(s)=G_1(s)\cdot G_2(s)\cdot G_3(s) \tag{65} \]

开环频率特性：

\[\begin{aligned} G(j\omega) &= G_1(j\omega)\cdot G_2(j\omega)\cdot G_3(j\omega) \\ |G(j\omega)|e^{j\angle G(j\omega)} &= |G_1(j\omega)|e^{j\angle G_1(j\omega)}\cdot |G_2(j\omega)|e^{j\angle G_2(j\omega)}\cdot |G_3(j\omega)|e^{j\angle G_3(j\omega)} \\ &= |G_1(j\omega)||G_2(j\omega)||G_3(j\omega)|e^{j[\angle G_1(j\omega) + \angle G_2(j\omega) + \angle G_3(j\omega)]} \end{aligned} \tag{66} \]

系统开环幅频、相频：

\[\begin{aligned} A(\omega)&=|G(j\omega)| \\ &=|G_1(j\omega)|\cdot |G_2(j\omega)|\cdot |G_3(j\omega)| \\ &= |A_1(\omega)|\cdot |A_2(\omega)|\cdot |A_3(\omega)| \end{aligned} \tag{67} \]

\[\begin{aligned} \varphi(\omega) &= \angle G(j\omega) \\ &= \angle G_1(j\omega) + \angle G_2(j\omega) + \angle G_3(j\omega) \\ &= \varphi_1(j\omega) + \varphi_2(j\omega) + \varphi_3(j\omega) \end{aligned} \tag{68} \]

曲线绘制

分几种情况：

1）当 \( G(s) = \prod_{i=1}^n \dfrac{K}{T_i s + 1} \) 时
即系统开环传递函数只包含比例环节、惯性环节，不包含积分环节和微分环节时

若 \( n = 1 \) 时，\( G(j\omega) = \frac{K}{T_1 j\omega + 1} \)

\( \omega = 0 \) 时，\( G(j0) = K \angle 0^\circ \)

\( \omega = \infty \) 时，\( G(j\infty) = 0 \angle -\frac{\pi}{2} \)

若 \( n = 2 \) 时，\( G(j\omega) = \frac{K}{(T_1 j\omega + 1)(T_2 j\omega + 1)} \)
\( \omega = 0 \) 时，\( G(j0) = K \angle 0^\circ \)
\( \omega = \infty \) 时，\( G(j\infty) = 0 \angle -2 \frac{\pi}{2} \)

n=1,2,3时，系统开环幅相特性曲线：

可看出，n=1即一个惯性环节和比例环节串联时，开环幅相特性曲线从正实轴开始，随\(\omega:0\to \infty\)变化时，顺时针转过\(\frac{\pi}{2}\)角，最后与负虚轴相切.

n=2即2个惯性环节和比例环节串联时，开环幅相特性曲线从正实轴开始，随\(\omega:0\to \infty\)变化时，顺时针转过2个\(\frac{\pi}{2}\)角（\(-\pi\)角），最后与负实轴相切.

以此类推，随\(\omega:0\to \infty\)变化时，开环幅相特性曲线顺时针转过n个象限（每个象限\(\frac{\pi}{2}\)角）.

2）当 \( G(s) = \dfrac{K \prod_{i=1}^m (\tau_i s + 1)}{\prod_{i=1}^n (T_i s + 1)} \) 时

即系统开环传递函数含m个一阶微分环节、n个惯性环节.

\( m = 1, n = 3 \) 时，系统开环幅相特性曲线

\[G(s) = \frac{K(\tau_1 s + 1)}{(T_1 s + 1)(T_2 s + 1)(T_3 s + 1)} \]

\[G(j\omega) = \frac{K(\tau_1 j\omega + 1)}{(T_{1j}\omega + 1)(T_{2j}\omega + 1)(T_{3j}\omega + 1)} \]

当 \(\omega = 0\) 时，\(G(j0) = K \angle 0^\circ\)

\(\omega = \infty\) 时，\(G(j\infty) = 0 \angle \left(\frac{\pi}{2} - 3\frac{\pi}{2}\right) = 0 \angle \left(-2\frac{\pi}{2}\right)\)

取 \(T_1, T_2\) 大于 \(\tau_1, \tau_1 > T_3\) 时系统开环幅相特性曲线如下图：

如果开环传递函数中，分子含m个一阶微分环节，分母含n个惯性环节，那么开环幅相特性随\(\omega\)变化趋势：

\[\begin{aligned} \omega &= 0 \quad G(j0) = K \angle 0^\circ \\ \omega &= \infty \quad G(j\infty) = 0 \angle m \left( \frac{\pi}{2} - n \frac{\pi}{2} \right) = 0 \angle (m - n) \frac{\pi}{2} \end{aligned} \]

3）当 \( G(s) = \dfrac{K}{s^v(Ts + 1)} \) 时

开环传递函数含比例环节、惯性环节、v个积分环节.

设\(v=1\)，那么,

\[G(s)=\frac{K}{s(Ts+1)} \\ G(j\omega)=\frac{K}{j\omega(Tj\omega+1)} \\ \]

\(\omega = 0\) 时，\( G(j0) = \infty \angle -\frac{\pi}{2} \)

\(\omega = \infty\) 时，\( G(j\infty) = 0 \angle -2 \frac{\pi}{2} \)

设\(v=2\)，那么

\[G(s) = \frac{K}{s^2(Ts + 1)} \\ G(j\omega) = \frac{K}{(j\omega)^2(Tj\omega + 1)} \]

\( \omega = 0 \) 时，\( G(j0) = \infty \angle -2 \frac{\pi}{2} \)

\(\omega = \infty \)时，\( G(j\infty) = 0 \angle -3 \frac{\pi}{2} \)

含有积分环节时的开环幅频特性曲线：

特点

1）频率\(\omega=0\)时，开环幅相特性完全由比例环节、积分环节决定.

\(v=0\) 开环传递函数不含积分环节，\(G(j\omega)\) 曲线从正实轴开始，\(G(j0)=K\angle 0^\circ\)；

\(v=1\) 有1个积分环节，\(G(j\omega)\) 曲线从负虚轴方向开始，\(G(j0)=\infty \angle -\frac{\pi}{2}\)；

\(v=2\) 有2个积分环节，\(G(j\omega)\) 曲线从负实轴方向开始，\(G(j0)=\infty \angle -2\frac{\pi}{2}\)；

\(v=3\) 有3个积分环节，\(G(j\omega)\) 曲线从正虚轴方向开始，\(G(j0)=\infty \angle -3\frac{\pi}{2}\)；

...

2）频率\(\omega=\infty\)是，如果\(n > m\)，即\(G(s)\)分母阶次n > 分子阶次m

\[G(j\infty)=0\angle (m-n)\frac{\pi}{2} \]

3）如果\(G(s)\)分子含s因子的环节，那么\(G(j\omega)\)曲线随\(\omega\)变化时发生弯曲. 不含s因子的环节时，那么\(G(j\omega)\)曲线随\(\omega\)变化时，是一条平滑的曲线.

4）\(G(j\omega)\)曲线与负实轴的交点，是一个关键点，其交点坐标：

\[G(j\omega)=|G(j\omega)|e^{j\angle G(j\omega)}=u(\omega)+jv(\omega) \tag{69} \]

(a)令\(\angle G(j\omega)=-\pi\) 解出负实轴交点处对应的频率\(\omega_x\)的值，再将\(\omega_x\)代入\(|G(j\omega|\)中，求得与负实轴交点的模值.

(b)令\(v(\omega)=0\) 解出\(\omega_x\)，再将\(\omega_x\)代入\(u(\omega_x)\)求得与负实轴交点坐标.

开环对数频率特性曲线绘制

根据(67)(68)，可写出系统开环对数幅频与对数相频表达式

开环对数幅频：

\[L(\omega)=20\lg A(\omega) = 20\lg A_1(\omega) + 20\lg A_2(\omega) + 20\lg A_3(\omega) \tag{70} \]

开环对数相频：

\[\varphi(\omega)=\varphi_1(\omega)+\varphi_2(\omega)+\varphi_3(\omega) \tag{71} \]

频率稳定判据

根据开环频率特性来判别闭环系统的稳定性. 解释2种方法：奈奎斯特稳定判据（奈氏判据），对数频率稳定判据.

奈奎斯特稳定判据

系统：

\(G(s),H(s)\) 是2个多项式之比的有理分式，设为：

\[G(s)=\frac{M_1(s)}{N_1(s)}\\ H(s)=\frac{M_2(s)}{N_2(s)} \]

如果\(G(s),H(s)\) 没有零点、极点对消（不存在系统零极点），则系统开环传递函数：

\[G(s)H(s)=\frac{M_1(s)M_2(s)}{N_1(s)N_2(s)} \]

闭环传递函数：

\[\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{M_1N_2(s)}{N_1(s)N_2(s)+M_1(s)M_2(s)} \]

奈氏判据从研究闭环与开环特征多项式之比 这一函数入手，称为辅助函数，记作\(F(s)\)：

\[F(s)=1+G(s)H(s)=\frac{N_1(s)N_2(s)+M_1(s)M_2(s)}{N_1(s)N_2(s)} = \frac{闭环特征多项式}{开环特征多项式} \tag{73} \]

\(F(s)\)分子是系统闭环特征多项式，分母是系统开环特征多项式.

对于物理系统，其开环传递函数的分母最高次幂 n 必须＞ 分子的最高次幂 m，即\(n>m\). （受限于物理系统约束）

简单推导：

由拉氏变换的初值定理，

\[g(0^+)=\lim\limits_{t\to 0^+}g(t)=\lim\limits_{s\to \infty}sG(s) \]

如果 n < m（分子阶次大于分母），那么\(\lim\limits_{s\to \infty}sG(s)\to \infty\)

这意味着，\(g(0^+)\to \infty\)，即系统对单位脉冲输入的初始相应为无穷大.

而任何物理系统（电阻、电容、电感、质量块、弹簧）在受到有限能量冲击（脉冲）时，输出的物理量（电压、位移等）不可能是无穷大.

为满足\(g(0^+)\) 为有限值，必须满足\(n\ge m\). 如果要进一步满足高频衰减\(G(\infty)=0\)，那么必须严格满足\(n>m\).

---

将\(F(s)\)写成零极点形式，

\[F(s) = \frac{\prod\limits_{i=1}^n (s - z_i)}{\prod\limits_{i=1}^n (s - p_i)} \tag{74} \]

其中，\(z_i\) 是\(F(s)\)的零点，也是闭环传递函数的极点；
\(p_i\) 是\(F(s)\)的极点，也是闭环传递函数的极点.

\(F(s)\)特点：

1）其零点、极点分别是闭环和开环的特征根；
2）其零点个数 = 极点个数；
3）\(F(s)\)与系统开环传递函数\(G(s)H(s)\)只差常数1.

\(F(s)\)的极点\(p_i\)（开环极点）通常已知，而要求\(F(s)\)的零点\(z_i\)（闭环极点）分布. 利用复变函数的辐角原理，寻找一种确定位于右半s平面内\(F(s)\)零点（闭环极点）数目的方法，就能建立判断闭环系统稳定性的奈氏判据.

由自动控制：时域分析法可知，系统稳定的充要条件是闭环极点全部位于左半 s 平面. 如果能确定右半s平面的闭环极点数目，就能判断系统是否稳定.

辐角原理

在s平面上任选一复数s，通过复变函数\(F(s)\)，可在\(F(s)\)平面找到对应像.

设\(F(s)\)零极点分布如下图：

说明：横坐标是s实部，纵坐标是虚部.

在右半s平面内任作一闭合路径\(\Gamma_s\)（路径不通过\(F(s)\)任一零极点），在路径上任选一点A，使s从A点开始移动，绕\(F(s)\)零点\(z_i\)顺时针沿封闭曲线\(\Gamma_s\)转一周回到A，相应的，\(F(s)\)在\(F(s)\)平面上从B点出发再回到B，野描出一条封闭曲线\(\Gamma_F\)，如下图：

说明：横坐标是\(F(s)\)实部，纵坐标是虚部.

由(74), 有

\[\Delta∠F(s)=\Delta∠(s-z_1)+\Delta∠(s-z_2)+\cdots+\Delta∠(s-z_n)-\Delta∠(s-p_1)+\Delta∠(s-p_2)+\cdots+\Delta∠(s-p_n) \tag{75} \]

其中，\(\Delta F(s)\) 为\(F(s)\)相角变化，\(\Delta∠(s-z_i) (i=1,2,\cdots, n\) 表示s依\(\Gamma_s\) 变化时，\(F(s)\)相角变化为\(\Delta∠F(s)\)时，向量\(s-z_i\)的辐角变化量；\(\Delta∠(s-p_i)\) 是\(s-p_i\)辐角变化量.

证明：任意复数\((s-z_i)\)，可写成

\[(s-z_i)=|s-z_i|e^{j∠(s-z_i)} \]

模为 \(|s-z_i|\)，相角为 \(∠(s-z_i)\).

∴

\[\begin{aligned} F(s) &= \frac{|s-z_1|e^{j∠(s-z_1)}\cdot |s-z_2|e^{j∠(s-z_2)} \cdots}{|s-p_1|e^{j∠(s-p_1)}\cdot |s-p_2|e^{j∠(s-p_2)} \cdots} \\ &= \frac{|s-z_1||s-z_2|\cdots}{|s-p_1||s-p_2|\cdots}e^{j[∠(s-z_1)+∠(s-z_2)+\cdots + ∠(s-z_n) - ∠(s-p_1) - ∠(s-p_2)-\cdots] - ∠(s-p_n)} \end{aligned} \]

∴

\[∠F(s)=∠(s-z_1)+∠(s-z_2)+\cdots + ∠(s-z_n) - ∠(s-p_1) - ∠(s-p_2)-\cdots] - ∠(s-p_n) \\ \implies \Delta∠F(s)=\Delta∠(s-z_1)+\Delta∠(s-z_2)+\cdots+\Delta∠(s-z_n)-\Delta∠(s-p_1)+\Delta∠(s-p_2)+\cdots+\Delta∠(s-p_n) \]

式(75)中，在\(\Gamma_s\) 路径内的\(z_i\) 辐角变化量\(-2\pi\)；在\(\Gamma_s\) 路径外的\(z_i\) 辐角变化量0.

由图(a)，路径\(\Gamma_s\)只包围了一个\(z_i\)，其余\(F(s)\)零极点均分布在\(\Gamma_s\)之外，所以，当s在s平面上沿着\(\Gamma_s\)顺时针绕零点\(z_i\)走一圈时，\(F(s)\)在\(F(s)\)平面上的\(F(s)\)曲线绕原点顺时针转了一圈（即相角变化\(-2π\)）. 即

\[\Delta ∠F(s) = \Delta∠(s-z_i) = -2\pi \tag{76} \]

同样地，s在s平面上沿着\(\Gamma_s\)曲线顺时针绕极点\(p_i\)转一圈时，在\(F(s)\)平面上，\(F(s)\)曲线绕原点逆时针转一圈.

综上，辐角原理总结为：

如果封闭曲线\(\Gamma_s\)内有Z个\(F(s)\)的零点，P个\(F(s)\)的极点，则s依\(\Gamma_s\)顺时针转一圈时，在\(F(s)\)平面上，\(F(s)\) 曲线绕原点逆时针转的圈数R：

\[R=P-Z \tag{77} \]

如果R为负，则表示\(F(s)\)曲线绕原点顺时针转过的圈数.

奈氏判据

如果把s平面的\(\Gamma_s\)取为虚轴和右半s平面上的半径\(\rho = \infty\)的半圆（封闭曲线），如下图：

包括全部右半s平面的封闭曲线\(\Gamma_s\)

此时，\(\Gamma_s\) 扩大到整个右半s平面，那么(77)中P、Z分别表示\(F(s)\)分布在右半s平面的极点、零点数（即开、闭环传递函数分布在右半s平面上的极点数）.

当s沿着无穷大半圆及虚轴变化时，\(F(s)\)在\(F(s)\)平面上绕原点逆时针转的圈数 \(R=P-Z\).

如果\(Z=0\)（右半s平面内及虚轴上，\(F(s)\)零点数为0，即闭环极点数为0），则\(R=P\)，\(F(s)\)在\(F(s)\)平面绕原点逆时针转过P圈，说明闭环系统是稳定的；

如果\(R\neq P\)，说明闭环系统是不稳定的.

如果开环稳定，那么开环极点数\(P=0\)，此时，闭环系统稳定的条件是：\(Z=0\)，那么\(R=0\)（\(F(s)\)绕原点转过的圈数）.

\(F(s)=1+G(s)H(s)\)，\(F(s)\)在\(F(s)\)平面绕原点逆时针转过的圈数，在\(G(s)H(s)\)平面上变成绕点\((-1,j0)\)逆时针转的圈数，所以R也可用\(G(s)H(s)\)绕\((-1,j0)\)逆时针转的圈数表示.

因为物理系统中，开环传递函数分布的最高次幂 > 分子的最高次幂，所以当s在\(\Gamma_s\)的圆弧段取值时（\(s\to \infty\)），

\[\lim\limits_{s\to \infty} G(s)H(s) = 0 = 0 + j0 \]

也就是说，整个无穷大半圆弧上的所有点，无论它在虚轴正无穷、实轴正无穷、还是虚轴负无穷，映射到 \(G(s)H(s)\) 平面上，全部被“压缩”成了同一个点——原点(0,j0).

于是，我们令\(s=j\omega, \omega: -\infty\to 0, 0\to +\infty\)，有

\[G(s)H(s)\bigg|_{s=j\omega}=G(j\omega)H(j\omega) \]

而\(G(j\omega)H(j\omega)\)正是系统的开环幅相特性.

当\(\omega:-\infty\to 0, 0\to +\infty\)时，对应2条\(G(j\omega)H(j\omega)\)曲线，相对于实轴互为镜像，只需要绘制\(\omega: 0\to +\infty\) 曲线即可. 此时，对应的\(G(j\omega)H(j\omega)\)曲线绕\((-1,j0)\)点转过的圈数N（逆时针为正，顺时针为负）：

\[N=\frac{P-Z}{2} \tag{79} \]

其中，\(P\)为封闭曲线\(\Gamma_s\)内\(F(s)\)的极点数，\(Z\)为\(F(s)\)的零点数.

闭环系统稳定条件：\(Z=0\)，那么

\[N=\frac{P}{2} \tag{80} \]

如果闭环系统不稳定（\(Z\neq 0\)），那么闭环在右半s平面极点数：

\[Z=P-2N \tag{81} \]

综上，奈奎斯特稳定判据：

闭环系统稳定充要条件：当\(\omega: 0\to +\infty\)时，开环幅相特性\(G(j\omega)H(j\omega)\)曲线绕\((-1, j0)\)点(s平面)逆时针转过P/2圈.
其中，P为开环传递函数位于右半s平面的极点数.

如果开环系统稳定（即\(P=0\)），那么\(N=0\)，即\(G(j\omega)H(j\omega)\)曲线绕(-1, j0)点转过的圈数为0，所以，开环幅相特性\(G(j\omega)H(j\omega)\)曲线不包围\((-1, j0)\)点，则闭环系统稳定.

对数频率稳定判据

对数频率稳定判据：奈氏判据的另一种形式，将开环幅相特性画在对数坐标上，根据开环对数幅频与对数相频曲线的相互关系，来判别闭环系统的稳定性.

如下图，画出一条开环幅相曲线及其对应的对数频率特性曲线：

由上图，幅相曲线沿着\(\omega\)增加方向绕\((-1,j0)\)点的圈数 \(N=0\).

另外，亦可根据幅相曲线在\((-1, -\infty)\)的负实轴的穿越次数确定：

正穿越：开环幅相特性\(G(j\omega)H(j\omega)\)曲线，沿着\(\omega\)增加方向，由上往下穿过\((-1, -\infty)\)负实轴段一次，称为一个正穿越. 正穿越数 \(N_{+}\).

\(G(j\omega)H(j\omega)\)曲线从\((-1, -\infty)\)负实轴开始向下，称为 半个正穿越.

负穿越：\(G(j\omega)H(j\omega)\)曲线，沿着\(\omega\)增加方向，由小往上穿过\((-1, -\infty)\)负实轴段一次，称为一个负穿越. 负穿越数 \(N_{-}\).

\(G(j\omega)H(j\omega)\)曲线从\((-1, -\infty)\)负实轴开始向上，称为 半个负穿越.

上图(a)，\(G(j\omega)H(j\omega)\)曲线对\((-1, -\infty)\)负实轴段穿越次数 \(N_{+}=1, N_{-}=1\)，那么，

\[N=N_{+}-N_{-}=1-1=0 \]

由(80)，如果\(G(j\omega)H(j\omega)\)曲线沿着\(\omega\)增加方向，对\((-1, -\infty)\)负实轴段正、负穿越数之差为\(\dfrac{P}{2}\)，那么闭环系统稳定. 即

\[N=N_{+}-N_{-}=\dfrac{P}{2} \]

其中，\(P\)为开环正极点数.

稳定裕度

稳定裕度：衡量一个闭环系统稳定程度的指标，常用有 相稳定裕度\(\gamma\)，模稳定裕度\(h\).

由奈氏判据，可用幅相曲线 \(G(j\omega)H(j\omega)\) 相对 \((-1,j0)\) 点的位置，衡量系统的稳定程度.

相角裕度\(\gamma\)：在\(G(j\omega)H(j\omega)\)曲线上模值 = 1的矢量 与负实轴的交角.

稳定裕度\(\gamma,h\)示意图：

说明：右图上曲线 上面的上对数幅频特性曲线\(L(\omega)=20\lg|G_1|=L_h\)，下曲的是相频特性曲线 $\varphi(\omega)=\angle G_1 $ （单位度）.

\(\gamma\)几何含义：

在 \(G(j\omega)H(j\omega)\) 曲线上，到原点距离为1(模值\(|G(j\omega)H(j\omega)|=1\))的点. 相角裕度\(\gamma\) 就是该店与负实轴夹角.

在对数频率特性曲线上，\(L(\omega)=20\lg |G(j\omega)H(j\omega)|=0dB\) 处的相频\(\angle G(j\omega)H(j\omega)\)与\(-\pi\)的差角，即

\[\gamma = \angle G(j\omega_c)H(j\omega_c)-(-180°)=180°+\angle G(j\omega_c)H(j\omega_c) \tag{86} \]

其中，\(\omega_c\) 是截止频率（穿越频率），在幅频曲线中模值为1时对应频率，在对数幅频曲线图中\(L(1)=20\lg 1=0\)时对应频率;\(\gamma\)是相频曲线上\(\omega_c\)处与-180°差值.

模稳定裕度h（模值裕度）：\(G(j\omega)H(j\omega)\) 曲线与负实轴相交点处的模值 \(|G(j\omega_{1})H(j\omega_{1})|\) 的倒数.（仅对 \(|G(j\omega_1)H(j\omega_1)|<1\) 的情况）

\[h=\frac{1}{|G(j\omega_{1})H(j\omega_{1})|} \tag{87} \]

其中，\(\omega_1\) 相角穿越频率，即相频曲线穿过-180°线（即\(\angle G(j\omega_1)H(j\omega_1)=-180°\)）时对应的频率.

在对数幅频曲线上，h对应值为：

\[h(dB)=20\lg h=20\lg \left| \frac{1}{|G(j\omega_1)H(j\omega_1)|} \right| = -20\lg |G(j\omega_1)H(j\omega_1)| \tag{88} \]

因为\(h > 1\)，即\(|G(j\omega_1)H(j\omega_1)|<1\)，所以上式不需要加绝对值.

综上，

相角裕度指：幅值刚好为1时，相位还差多少到 −180°

模值裕度指：相位滞后−180°时，系统的幅值离临界值 1（0dB）还有多大的“余量”.

一阶二阶系统的模值裕度h都是无穷大.

• 对于一阶系统，

传递函数\(G(s)=\frac{K}{Ts+1}\)，相频特性\(\varphi(\omega)=-\arctan (T\omega)\).

相角范围：\(0 \sim -90°\)，永远到不了\(-180°\)，也就不存在\(\omega_1\) 使得\(\angle G(j\omega_1)H(j\omega_1)=-180°\)，即\(h=\infty\)（工程实践中，不存在统一写成\(\infty\)）

• 对于二阶系统，

传递函数 \(G(s)=\frac{\omega_\mathrm{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_\mathrm{n} s+\omega_\mathrm{n}^{2}}\)，相频特性 \(\varphi(\omega)=∠G(j\omega)=-\arctan\frac{2\zeta \frac{\omega}{\omega_n}}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}\)

相角范围：\(0 \sim -180°\)，只有\(\omega\to \infty\)时，才能取值\(-180°\)，在任何有限频率下都大于\(-180°\).

所以，不存在有限频率 \(\omega_1\) 使得 \(\angle G(j\omega_1)H(j\omega_1)=-180°\)，即 \(h = \infty\).

在闭环系统稳定条件下，系统 \(\gamma, h\) 越大，反映系统的稳定程度越高，超调小，振荡弱，阻尼大.

一般要求（工程实践经验）：

\[\gamma \propto 40^\circ, \quad h \propto 2, \quad 20\lg h \propto 6\, \text{dB} \]

闭环频率特性与阶跃响应的关系

对于单位反馈系统，闭环与开环频率特性关系：

\[\Phi(j\omega)=\frac{G(j\omega)}{1+G(j\omega)} \tag{89} \]

其中，通用闭环传递函数的 \(H=1\).

说明：左图是单位反馈系统结构图，右图是其开环幅相曲线及确定的闭环频率特性.

如何求出任一频率点 \(\omega_1\) 闭环特性？

• 传统方法：需要有开环传递函数 \(G(j\omega)\)

1. 代入求值：令 \(s = j\omega_1\)，算出开环复数 \(G(j\omega_1)\). 假设为 \(0.8+j0.6\)；
2. 加1运算：\(1+G(j\omega_1)=1.8+j0.6\)；
3. 复数除法：计算闭环频率特性 \(\Phi(\omega_1)=\frac{G(j\omega_1)}{1+G(j\omega_1)}=\frac{0.8+j0.6}{1.8+j0.6}\)；
4. 化简：分子分母同乘共轭，算出实部、虚部，再取得幅值\(M\)，相位角\(α\)；

特点：对于每个频率点，都需要一次完整的精确计算，如果绘制完整闭环曲线，则需要重复多次，非常耗时.

• 图解法：完全不需要做第3、4步，只需要图中几何关系，但需要开环频率特性已知（可通过第1、2步）.

复数 \(G(j\omega_1)\) 在图上对应A点，P点坐标 \((-1, j0)\).

由上面右图可知开环频率特性，

\[\begin{aligned} G(j\omega_1) &= \overrightarrow{OA} = |\overrightarrow{OA}| e^{j\varphi}\\ 1 + G(j\omega_1) &= 1+j0 + G(j\omega_1) \\ &= \overrightarrow{OA} - (-1, j0) = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{PA} \\ &= |\overrightarrow{PA}| e^{j\theta} \end{aligned} \]

其中，\(\varphi\) 是开环频率特性的相角，也是 \(\overrightarrow{OA}\) 与正实轴夹角；\(\theta\) 是分母 \(1+G\) 的相角，也是 \(\overrightarrow{PA}\) 与正实轴夹角.

所以，闭环频率特性，

\[\Phi(j\omega_1) = \frac{G(j\omega_1)}{1 + G(j\omega_1)} = \frac{|\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{PA}|} e^{j(\varphi - \theta)} \]

这表明，闭环幅频等于 \(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{PA}\) 的幅值之比；闭环相频是 \(\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{OA}\) 夹角 \(\angle PAO\) 的负值，即，

\[\begin{aligned} |\Phi(j\omega_1)| &= \frac{|\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{PA}|} \\ \angle \Phi(j\omega_1) &= \varphi - \theta = -\angle PAO \end{aligned} \]

注意：有向角 \(\angle PAO\) 定义为 \(\overrightarrow{PA}\) 到 \(\overrightarrow{OA}\) 的角，符号代表方向. \(\angle OAP\) ：\(\overrightarrow{OA}\) 到 \(\overrightarrow{PA}\) 的角.

如果要画出所要求的闭环频率特性曲线，该图解法仍然需求得不同频率对应的闭环幅频、相频. 因此，工程上不常用，而是应用等M、等N圆图或尼科尔斯图，而不必进行计算.

等M圆图，等N圆图

等M圆图作用：根据开环幅相曲线，作出闭环幅频曲线；
等N圆图作用：根据开环幅相曲线，作出闭环相频曲线；

等M圆图

如果将 \(G(j\omega),\Phi(j\omega)\) 写成：

\[G(j\omega) = X(\omega) + jY(\omega) \tag{90} \]

\[\Phi(j\omega) = M(\omega)e^{j\alpha (\omega)} \tag{91} \]

其中，\(X、Y\) 是开环传递函数 \(G(j\omega)\) 在复平面上的实部、虚部坐标；\(M(\omega), \alpha(\omega)\) 为闭环幅频，闭环相频.

代入(89)可得，

\[M=\left | \frac{G}{1+G} \right|=\left | \frac{X+jY}{1+X+jY} \right| = \sqrt{\frac{X^2+Y^2}{(1+X)^2+Y^2}} \]

所以，

\[M^2=\frac{X^2+Y^2}{(1+X)^2+Y^2} \\ M^2[(1+X)^2+Y^2]=X^2+Y^2 \\ M^2[1+2X+X^2+Y^2]=X^2+Y^2 \\ (M^2-1)X^2+2M^2X+ (M^2-1)Y^2+ M^2=0 \\ M\neq 1时, X^2-\frac{2M^2}{1-M^2}X+Y^2-\frac{M^2}{1-M^2}=0 \\ \left(X-\frac{M^2}{1-M^2} \right)^2 - \left(\frac{M^2}{1-M^2}\right)^2 +Y^2-\frac{M^2}{1-M^2} = 0 \\ \]

可得，

\[\left(X-\frac{M^2}{1-M^2} \right)^2 + Y^2 = \left(\frac{M}{1-M^2}\right)^2 (M\neq 1) \tag{92} \]

在G平面上，当M是常数时，它表示一个圆：

• 圆心：\(\big(\frac{M^2}{1-M^2}, j0 \big)\)
• 半径：\(\big| \frac{M}{1-M^2} \big|\)

所以，在G平面上，等M圆是一簇圆，每个确定的M，对应一个确定的圆. 如下等M圆图：

注意：等M圆是G平面上满足闭环幅值M为常数的点集，每个圆只是满足闭环幅值公式中，M为常数的轨迹，并不是开环特性曲线 \(G(j\omega)\) 本身.

由图可知，
1）\(M = 1\) 时，等M圆变成一条经过 \((-0.5,j0)\) 且平行于虚轴的直线.

2）\(M > 1\) 时，随着M增大，等M圆越来越小⬇，最后收敛于 \((-1,j0)\) ，并且各个等M圆圆心位于 \((-1,j0)\) 左侧；

3）\(M < 1\) 时，随着M减小，等M圆⬇，最后收敛于原点，且各等M圆圆心位于原点右侧；

4）等M圆对称于 直线 M=1，也对称于实轴.

等N圆图

闭环相频特性 N：

\[N = \tan \alpha(\omega) = \frac{\operatorname{Im} \Phi(j\omega)}{\operatorname{Re} \Phi(j\omega)} = \frac{Y}{X + X^2 + Y^2} \]

其中，\(\alpha\) 是闭环相角，\(\alpha=\angle \Phi(j\omega)=\angle\frac{G(j\omega)}{1+G(j\omega)}\)

所以，

\[\left( X + \frac{1}{2} \right)^2 + \left( Y - \frac{1}{2N} \right)^2 = \frac{N^2 + 1}{4N^2} \tag{93} \]

令 N 为常值，(93) 就是G平面上的圆的方程：

• 圆心：\(\left(-0.5, j\dfrac{1}{2N} \right)\)
• 半径：\(\sqrt {N^2+1}/2N\)

如下图，等N圆图是一簇圆，都经过点 \((0, j0)(-1, j0)\)，每一个常数 \(\alpha\) 对应一个等N圆.

注：实轴Re，纵轴Im，G平面上每个点代表开环频率特性 \(G(j\omega)=X+jY\)

\(\tan \alpha(\omega)\) 周期180°，N 的周期也是. 用等N元确定闭环系统时，必须选择适当 \(\alpha\) 使得相频曲线保持特点：\(\omega=0\) 时，\(\alpha=0\) 及 相频曲线连续.

尼科尔斯图（N.B. Nichols）

如果开环频率特性表示为：

\[G(j\omega)=A(\omega)e^{j\varphi(\omega)} \tag{94} \]

(91)(94)代入(89)得，

\[M(\omega)e^{j\varphi(\omega)}=\frac{A(\omega)e^{j\varphi(\omega)}}{1+A(\omega)e^{j\varphi(\omega)}} \tag{95} \]

变换后可得（需用欧拉公式 \(e^x=cos x+jsin x\)）：

\[20\lg A(\omega)=20\lg \frac{\sin \varphi(\omega) - \alpha(\omega)}{\sin \alpha(\omega)} \tag{96} \]

\[20\lg A(\omega) = 20\lg \frac{\cos \varphi(\omega) \pm \sqrt{\cos^2 \varphi(\omega) + M^{-2} - 1}}{M^{-2} - 1} \tag{97} \]

当我们指定(96)中 \(\alpha\) 为某一常数时，可得到 \(20\lg A(\omega), \varphi(\omega)\) 的单值方程. 在 \(20\lg A-\varphi\) 平面内，把这个函数轨迹画出来，就得到一条 等 \(\alpha\) 线.

当我们指定(97)中 \(M\) 为某一常数时，且令 \(\varphi(\omega) \in [0°, 360°]\)，那么计算出的 \(20\lg A(\omega)\) （可能有2个值），在 \(20\lg A-\varphi\) 平面内，把这个函数轨迹画出来，就得到一条 等M线（或 等 \(20\lg M\) 线）.

注：
1）单值方程：在方程中，当一个变量取定一个值时，另一个变量有且仅有一个确定的值与之对应.
2）该尼科尔斯图坐标平面：横坐标 开环系统的相频特性 \(\varphi(\omega)\in [0°, 360°]\)；纵坐标 幅频特性 \(20\lg A(\omega) [dB]\)）

由 等M线（或等 \(20\lg M\) 线）和等 \(\alpha\)线组成的图，称为 尼科尔斯图（简称 尼氏图）.

如下图，是一种典型尼氏图：

这是 \(20\lg A - \varphi\) 平面，其中，
横轴：开环相位 \(\varphi\)（°），范围0 ~ 360°；
纵轴：开环对数幅频 \(20\lg A\)（dB），范围-20dB ~ 32dB.

顶部在上，开口向下的一组类似于抛物线的线，就是等 \(\alpha\) 线，从左到右分别对应 \(\alpha=2°, 10°, 30°, 60°, 90°, 150°, \cdots\)；
开口向上的一组线，就是等 \(20\lg M\) 线，右侧的-0.5, -2.0, -4.0, -10.0, -15.0（dB），从上到下，分别对应不同的等 \(20\lg M\) 线的闭环幅值（曲线能达到的最高值），而对应的M值是0.944, 0.794, 0.631, 0.501, 0.316, 0.178；

由尼氏图可看出，曲线与 \(\varphi=-180°\) 线对称，等M线在-180°线两边值相等；等 \(\alpha\) 线在-180°线两边值大小相等、符号相反.

由(95)，如果 \(A(\omega) \gg 1\)，

\[M(\omega)e^{j\varphi(\omega)}=\frac{A(\omega)e^{j\varphi(\omega)}}{1+A(\omega)e^{j\varphi(\omega)}} =\frac{1}{\frac{1}{A(\omega)e^{j\varphi(\omega)}} + 1} ≈ 1 \]

工程上，通常取 \(A=10^{1.5}≈31.6\)，此时，开环对数幅频 \(20\lg A(\omega)=20\lg 10^{1.5}=30dB\)
也就是说，\(20\lg A>30dB\) 时，闭环对数频率特性：\(20\lg M(\omega) = 20\lg 1=0dB, \alpha = 0°\)

如果 \(A(\omega) \ll 1\)，

\[M(\omega)e^{j\varphi(\omega)}=\frac{A(\omega)e^{j\varphi(\omega)}}{1+A(\omega)e^{j\varphi(\omega)}} ≈ \frac{A(\omega)e^{j\varphi(\omega)}}{1}=A(\omega)e^{j\varphi(\omega)} \]

工程上，通常取 \(A=10^{-1.25}≈0.056\)，此时，开环对数幅频 \(20\lg A(\omega)=20\lg 10^{-1.25}=-25dB\)
也就是说，\(20\lg A<-25dB\) 时，闭环对数频率特性：\(20\lg M(\omega)=20\lg A(\omega), \alpha = \varphi(\omega)\) （用开环幅频、相频代替闭环的）

所以，一般查图的取值范围：\(-25dB<20\lg A(\omega)<30dB\)

用闭环幅频特性分析、估算系统性能

在已知闭环系统稳定的条件下，可只根据系统的闭环幅频特性曲线，对系统动态响应过程进行定性分析、定量估算.

如下图所示典型闭环幅频特性曲线：

其中，纵轴 \(M(\omega)\) 闭环幅频，横轴 \(\omega\) 角频率；零频幅值 M(0) 为 \(\omega=0\) 时的幅值；0.707M(0) 对应的频率 \(\omega_b\)，为系统 截止频率（或带宽频率）

1. 定性分析

1）零频幅值 M(0) 反映系统对“直流信号”（即恒定不变的信号）的放大能力或跟踪能力.

注：
(a) 零频指频率 \(\omega=0\)，代表信号不变. M(0) 就是系统对恒定不变信号的增益（放大倍数）；
(b) 阶跃信号的稳态，就是直流信号.

\(M(0)=|\Phi(j0)|=|\Phi(0)|\)

工程上，常认为 \(M(0)=|\Phi(0)|=\Phi(0)\) （非严格数学关系）

设闭环传递函数：\(\Phi(s) = \frac{Y(s)}{R(s)}\)，其中 \(Y(s)\) 是输出，\(R(s)\) 是输入.

设输入信号为单位阶跃信号 \(r(t)=1(t)\)，其拉氏变换 \(R(s)=\frac{1}{s}\)

由终值定理，

\[y(\infty) = \lim_{t\to \infty}y(t) = \lim_{s \to 0} s \cdot Y(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \Phi(s) \cdot R(s) \]

代入 \(R(s)=\frac{1}{s}\)，

\[y(\infty) = \lim_{s \to 0} s \cdot \Phi(s) \cdot \frac{1}{s} = \lim_{s \to 0} \Phi(s) = \Phi(0) \]

所以，静差（稳态误差，参见自动控制时域分析法 误差与稳态误差）：

\[e_{ss}=r(\infty) - y(\infty) \]

因为 \(r(t)\) 是单位阶跃，所以 \(r(\infty)=1\)

所以，

\[e_{ss}=r(\infty) - y(\infty) = 1 - \Phi(0) \]

所以，

(a) 当 \(M(0)=\Phi(0)=1\) 时，系统在阶跃信号作用下没有静差 \(e_{ss}=0\)；
(b) 当 \(M(0)=\Phi(0)\neq 1\) 时，有静差 \(e_{ss}\neq 0\).

2）谐振峰值 \(M_m\) 反映系统平稳性

对于绝大多数典型的二阶及高阶系统（闭环稳定）：

• \(M_m\) 越大：说明系统在 \(\omega_m\) 处共振得越厉害. 对应到时域，系统阻尼很弱，动态过程振荡剧烈，超调量 \(\sigma %\) 很大，调节时间变长，平稳性差；
  ​

• \(M_m\) 越小：说明系统阻尼较强，共振被抑制了. 对应到时域，阶跃响应超调量小，过程平稳，甚至没有超调（单调上升）；

• 理想情况（\(M_m=1\)）：说明系统完全没有谐振，阻尼很大，时域响应无超调（即曲线单调下降，没有凸起）.

3）带宽频率 \(\omega_b\) 反映系统的快速性

\(\omega_b\) ：幅频特性 \(M(\omega)\) 衰减到 0.707M(0) 时的频率.

\(\omega_b\) 越高，代表 \(M(\omega)\) 曲线从 \(M(0)\to 0.707M(0)\) 占据的频率区间 \((0,\omega_b)\) 越宽，系统的复现快速变化的信号能力越强，失真越小，系统的惯性越小，动态过程迅速.

4）闭环幅频 \(M(\omega)\) 在 \(\omega_b\) 处斜率反映系统抗高频干扰的能力

斜率越陡，对高频正弦信号的衰减越快，抑制高频干扰的能力越强.

开环频率特性与阶跃响应的关系

对于单位反馈系统，开、闭环传递函数关系：

\[\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)} \]

\(\Phi(s)\) 结构、参数，取决于开环传递函数 \(G(s)\)，于是，可利用开环频率特性分析闭环系统的动态响应，而不必计算闭环幅频特性.

时域指标 \(e_{ss}\) （稳态误差），取决于 \(G(s)\) 中积分环节数目v和开环增益K（参见essr与系统结构参数关系），它反映在对数幅频曲线的低频段：ν 决定低频渐近线的斜率，K 决定低频渐近线的高度.

调节时间 \(\sigma \%\)，衰减系数 \(t_s\) 取决于闭环幅频峰值 \(M_m\) 和 频带 \(\omega_b\)，处于 \(M(\omega)\) 曲线的中间频率范围，即中频段.

为什么说 \(e_{ss}\) 是时域指标？

因为它描述的是系统在时间趋于无穷大时的输出误差，其定义、求解和物理意义都直接建立在时间域上.

低频段、中频段、高频段并没有严格的数学公式划分. 它们是一种工程上定性划分，是为了分别对应闭环系统的稳态性能、动态性能和抗噪性能.

通常围绕一个核心参数：开环剪切频率（幅值穿越频率）\(\omega_c\). 它是开环对数幅频特性 \(L(\omega)=20\lg |G(j\omega)|\) 穿越0dB线时的频率.

划分如下图所示，系统开环对数幅频渐近特性曲线（即伯德图幅频部分的近似折线）：

伯德图幅频曲线：\(20\lg |G(j\omega)|\)

这里用渐近曲线来近似伯德图的幅频特性曲线.

低频段

低频段指渐近曲线在第一个转折点 \(\frac{1}{T_1}\) 之前的折线段，即\(\omega \to 0\)，这一段特性由积分环节v、开环增益K决定.

根据斜率又可以划分为3类情况：

1）斜率为0dB/dec：0型系统；
2）-20dB/dec：Ⅰ型系统；
3）-40dB/dec：Ⅱ型系统.

v 决定斜率，K 决定高度，而斜率、高度决定了系统跟踪输入信号的能力，即稳态误差 \(e_{ss}\)

中频段

中频段指渐近曲线中，围绕剪切频率 \(\omega_c\) 的一个频率区间.

注意：示例图中，中频段刚好3段折线，但实际应用中不一定是.

略.

高频段

高频段指渐近曲线在中频段以后（\(\omega>10\omega_c\)）的区段. 特性由系统中时间常数很小、频带很高的部件决定.

因为远离 \(\omega_c\)，分贝值较低，所以对系统的动态响应影响不大. 这段特性，反映了系统对高频干扰的抑制能力：高频特性的分贝值越低，系统抗干扰能力越强.

高频时，开环对数幅频的幅值较小，即 \(20\lg |G(j\omega)|\ll 0, |G(j\omega)| \ll 1\)

因此，对于单位反馈系统，

\[|\Phi(j\omega)| = \frac{|G(j\omega)|}{1+|G(j\omega)|}≈ |G(j\omega)| \]

即 闭环幅频 = 开环幅频

参考

[1] 程鹏. 自动控制原理[M]. 高等教育出版. 2002.