拉普拉斯变换
复变量
复数有2部分：实部、虚部. 两部分都是常数. 如果实部和（或）虚部是变量，则称其为复变量. 在拉普拉斯变换中，用符号s表示复变量，即
其中，\(σ\)实部，\(ω\)虚部.
复变函数
复变函数G(s)是s的函数，它有实部、虚部：
其中，\(G_x,G_y\)实数. \(G(s)\)幅值\(\sqrt {G_x^2+G_y^2}\)，\(G(s)\)的角度\(θ=arctan(G_y/G_x)\). θ从正实轴开始，沿着逆时针方向计算. \(G(s)\)共轭复数为\(\overline{G}(s)=G_x-jG_y\)
线性控制系统分析中，通常，复变函数G(s)是s的单值函数，即对于给定s值，G(s)唯一确定.
如果某一域内复变函数G(s)及其所有导数均存在，则称该复变函数在该域内是解析的. 解析函数G(s)的导数：
∵\(Δs=Δσ+jΔω\)
∴\(Δs\)可沿无穷多个不同的路径趋近于0
2条特殊路径：\(Δs=Δσ, Δs=jΔω\)
注意：可以证明（这里未证明），当沿着这2条特殊路径，所得导数相等时，对于任何其他路径所得导数也唯一，因此导数是存在的.
对于路径\(Δs=Δσ\)（该路径//实轴），则
对于路径\(Δs=jΔω\)，则
如果这2个导数值相等，则
或者说，如果满足2个条件：
那么，导数\(dG(s)/ds\)可唯一确定，称\(G(s)\)是可解析的. 这2个条件就是柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件.
举例，函数G(s)：
∴
其中，\(G_x=\frac{σ+1}{(σ+1)^2+ω^2},G_y=\frac{-ω}{(σ+1)^2+ω^2}\)
于是，容易知道当\(s=-1(即σ=-1,ω=0)\)不成立时，
也就是说，G(s)满足柯西-黎曼条件，即除\(s=-1\)外，在整个s平面上\(G(s)=1/(s+1)\)都是解析的.
此时，
在s平面上，使函数G(s)解析的点，称为普通点，使G(s)为非解析的点，称为奇点，使G(s)或其导数趋近于无穷大的奇点称为极点，使G(s)=0的奇点称为零点.
如果当\(s\to -p\)时，\(G(s)\to ∞\)，且函数
在\(s=-p\)处具有一个有限的非零值，则\(s=-p\)称为n阶极点； 如果\(n=1\)，则该极点称为简单极点；如果\(n=2,3,...\)，则这些极点分别称为二阶极点、三阶极点等.
拉普拉斯变换
定义
拉普拉斯变换定义：
\(f(t)\)是时间t的函数，且当\(t<0\)时，\(f(t)=0\)，且积分\[\int_0^{+∞}f(t)e^{-st}dt（s = \sigma + \mathrm{j}\omega 是复变量） \]
在s的某个域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为：
\(F(s) = \int_0^{+∞}f(t)e^{-st}dt\)
这个式子就是函数\(f(t)\)的拉普拉斯变换式，简称拉式变换，记作：
\(F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}\)
\(F(s)\)称为\(f(t)\)的象函数，\(f(t)\)称为\(F(s)\)的原函数，由象函数求原函数的运算称为拉式反变换，记作：
\(f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]\)
说明：\(\mathcal{L}\) 是运算符号，放在某个变量之前表示该量用拉普拉斯积分\(\int_{0}^{+∞}e^{-st}dt\)进行变换；
\(f(t)\)的拉普拉斯变换还可以写作：
拉式反变换也可以写作：
注意：\(\mathcal{L}\) 也经常写作\(L\).
存在定理
若函数 \(f(t)\) 满足下列条件：
① 在 \(t\ge0\) 的任一有限区间上分段连续.
② 在 \(t\) 充分大后满足不等式 \(|f(t)|\le M\mathrm{e}^{ct}\)，其中 \(M\)、\(c\) 都是实常数. 则
\(f(t)\) 的拉氏变换
在半平面 \(\mathrm{Re}(s)>c\) 上一定存在，此时右端的积分绝对而且一致收敛，并且在这半平面内 \(F(s)\) 为解析函数.
简单起见，今后一律不再注明 \(F(s)\) 的收敛范围. 并假定 \(f(t)=0\ (t<0)\).
拉普拉斯变换的性质
线性性质
若 \(\alpha\)、\(\beta\) 是任意实常数，并且 \(\mathcal{L}\left[f_1(t)\right]=F_1(s),\ \mathcal{L}\left[f_2(t)\right]=F_2(s)\)，则有
性质证明很简单，根据拉氏变换的定义、积分运算的线性性质就能推出.
微分性质
若 \(\mathcal{L}[f(t)] = F(s)\)，则有
证明 根据拉氏变换的定义，有
分部积分：
两边对x求积分
设：
- \(u = e^{-st}\)，则 \(du = -se^{-st} dt\)
- \(dv = f'(t) dt\)，则 \(v = f(t)\)
代入得：
根据拉普拉斯变换定义\(\mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} \, dt = F(s)\)
要使这个反常积分收敛，必须满足：
否则积分会发散，\(F(s)\) 不存在.
∴当 \(t \to +\infty\)时，\(f(t)e^{-st} \to 0\)
∴
证毕
扩展：如果是二阶，三阶，乃至k阶微分呢？
如果\(\mathcal{L}[f(t)] = F(s)\)，那么
证明：数学归纳法证明.
k=1，一阶微分
k=2，二阶微分
\(f''(t) = \frac{d}{dt}[f'(t)]\)，对\(f'(t)\)套用1阶微分：
设\(g(t)=f'(t) = \frac{df(t)}{dt}, G(s)=\mathcal{L}\left[g(t) \right] = sF(s)-f(0)\)
假设k=m阶导数（\(m=1,2,3,..., m\in N^+\)）等式成立：
当k=m+1时，
设\(p(t)=f^{(m)}(t)\)，则\(p(0)=f^{(m)}(0)\)
由假设知\(P(s)=\mathcal{L}\left[ p(t) \right] = s^{m}F(s) - s^{m-1}f(0) - s^{m-2}f'(0) - \dots - f^{(m-1)}(0)\)
所以，k=m+1阶微分，等式也成立
故得证.
卷积定理
假定 \(f_1(t),f_2(t)\) 满足拉氏变换存在定理中条件，且 \(\mathcal{L}[f_1(t)]=F_1(s)\)，\(\mathcal{L}[f_2(t)]=F_2(s)\)，则有
式子中，\(\int_0^{t}f_1(t-τ)f_2(τ)dt\) 称为 \(f_1(t),f_2(t)\)的卷积，可写作\(f_1(t)*f_2(t)\).
也就是说，2个原函数的卷积的拉氏变换，对应其象函数的乘积.
证：
为了变积分限为 0 到 \(∞\)，引入单位阶跃函数\(1(t-τ)\)，即有，
因此，\(\int_0^t f_1(t-τ)f_2(τ)dt = \int_0 ^{\infty}f_1(t-τ)1(t-τ)f_2(τ)dτ\)
所以，
令\(t-τ=λ\)，可得，
拉普拉斯变换表
下表给出常用函数的拉普拉斯变换对照关系：
| f(t) | F(s) | |
|---|---|---|
| 1 | 单位脉冲δ(t) | 1 |
| 2 | 单位阶跃1(t) | \(\frac{1}{s}\) |
| 3 | t | \(\frac{1}{s^2}\) |
| 4 | \(\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}(n=1,2,3,...)\) | \(\frac{1}{s^n}\) |
| 5 | \(t^n(n=1,2,3,...)\) | \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) |
| 6 | \(e^{-at}\) | \(\frac{1}{s+a}\) |
| 7 | \(te^{-at}\) | \(\frac{1}{(s+a)^2}\) |
| 8 | \(\frac{1}{(n-1)!}t^{n-1}e^{-at}(n=1,2,3,...)\) | \(\frac{1}{(s+a)^n}\) |
| 9 | \(t^ne^{-at}(n=1,2,3,...)\) | \(\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}\) |
| 10 | \(sin(ωt)\) | \(\frac{ω}{s^2+ω^2}\) |
| 11 | \(cos(ωt)\) | \(\frac{s}{s^2+ω^2}\) |
| 12 | \(sinh(ωt)\) | \(\frac{ω}{s^2-ω^2}\) |
| 13 | \(cosh(ωt)\) | \(\frac{s}{s^2-ω^2}\) |
| 14 | $\frac{1}{a}(1-e^{-at}) $ | \(\frac{1}{s(s+a)}\) |
| 15 | \(\frac{1}{b-a}(e^{-at}-e^{-bt})\) | \(\frac{1}{(s+a)(s+b)}\) |
| 16 | \(\frac{1}{b-a}(be^{-bt}-ae^{-at})\) | \(\frac{s}{(s+a)(s+b)}\) |
| 17 | \(\frac{1}{ab}[1+\frac{1}{a-b}(be^{-at}-ae^{-bt})]\) | \(\frac{1}{s(s+a)(s+b)}\) |
| 18 | \(\frac{1}{a^2}(1-e^{-at}-ate^{-at})\) | \(\frac{1}{s(s+a)^2}\) |
| 19 | \(\frac{1}{a^2}(at-1+e^{-at})\) | \(\frac{1}{s^2(s+a)}\) |
| 20 | \(e^{-at}sin(ωt)\) | \(\frac{ω}{(s+a)^2+ω^2}\) |
| 21 | \(e^{-at}cos(ωt)\) | \(\frac{s+a}{(s+a)^2+ω^2}\) |
| 22 | \(\frac{ω_n}{\sqrt {1-ξ^2}}e^{-ξω_nt}sin(ω_n\sqrt {1-ξ^2}t)(0<ξ<1)\) | \(\frac{ω_n^2}{s^2+2ξω_ns+ω_n^2}\) |
| 23 | \(-\frac{1}{\sqrt {1--ξ^2}e^{-ξω_nt}}sin(ω_n\sqrt {1-ξ^2}t-φ)\) \(φ=arctan\frac{\sqrt{1-ξ^2}}{ξ}\) (\(0<ξ<1, 0<φ<π/2\)) |
\(\frac{s}{s^2+2ξω_ns+ω_n^2}\) |
| 24 | \(1-\frac{1}{\sqrt {1--ξ^2}e^{-ξω_nt}}sin(ω_n\sqrt {1-ξ^2}t+φ)\) \(φ=arctan\frac{\sqrt{1-ξ^2}}{ξ}\) (\(0<ξ<1, 0<φ<π/2\)) |
\(\frac{ω_n^2}{s(s^2+2ξω_ns+ω_n^2)}\) |
| 25 | \(1-cos(ωt)\) | \(\frac{ω^2}{s(s^2+ω^2)}\) |
| 26 | \(ωt-sin(ωt)\) | \(\frac{ω^3}{s^2(s^2+ω^2)}\) |
| 27 | \(sin(ωt)-ωt cos(ωt)\) | \(\frac{2ω^3}{(s^2+ω^2)^2}\) |
| 28 | \(\frac{1}{2ω}tsin(ωt)\) | \(\frac{s}{(s^2+ω^2)^2}\) |
| 29 | \(tcos(ωt)\) | \(\frac{s^2-ω^2}{(s^2+ω^2)^2}\) |
| 30 | \(\frac{1}{ω_2^2-ω_1^2}[cos(ω_1t-cos(ω_2t)] (ω_1^2\neq ω_2^2)\) | \(\frac{s}{(s^2+ω_1^2)(s^2+ω_2^2)}\) |
| 31 | \(\frac{1}{2ω}[sin(ωt)+ωtcos(ωt)]\) | \(\frac{s^2}{(s^2+ω^2)^2}\) |
双曲正弦函数：\(sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)
双曲余弦函数：\(cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)
普通正弦函数：\(sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)
普通余弦函数：\(cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2i}\)
参考
[1] 尾形克彦 著,卢伯英,佟明安.国外计算机科学教材系列:现代控制工程(第5版) [Modern Control Engineering Fifth Edition][M].电子工业出版社,2011.
[2] 程鹏. 自动控制原理[M].高等教育出版.2002.
浙公网安备 33010602011771号