自动控制：时域分析法

时域分析基础

对于常线性定常系统，常用工程方法：时域分析法，根轨迹法，频率法.

时域分析法特点

时域分析法：根据系统的微分方程，以拉普拉斯变换为数学工具，直接解出控制系统的时间响应. 然后，根据响应的表达式及其时间响应曲线，来分析系统的控制性能，如稳定性、快速性、平稳性、准确性等，并找出系统结构、参数与这些性能的关系.

与根轨迹法，频率法比较，时域分析法是一种直接分析法，更容易理解；时域分析法还是一种比较准确的方法，可提供系统时间响应的全部信息.

典型初始状态，外作用

系统时间响应\(c(t)\)，不仅取决于该系统本身的结构、参数，还与系统初始状态、加在该系统上的外作用有关.

e.g. RC网络中，电容有无初始电压，输入信号是交流or直流，其输出响应不同.

各种控制系统的初始状态不同，输入信号、能承受的干扰也不同，甚至无法事先知道. 为了便于分析、比较控制系统性能的优劣，通常对初始状态和外作用做一些典型化处理.

典型外作用：

说明：(a) 单位阶跃作用，(b) 单位斜坡作用，(c) 单位脉冲作用，(d) 正弦作用.

典型初始状态

规定控制系统的初始状态均为零状态，即\(t=0^-\)时，

\[c(0^-)=\dot{c}(0^-)=\ddot{c}(0^-)=\dots=0 \tag{1} \]

在施加外作用于系统的瞬时（t=0）之前，系统相对静止，被控量、各阶导数相对于平衡工作点的增量为0.

典型外作用

典型外作用是实际外作用的一种近似和抽象. 选择考虑点：数学运算简单，便于实验验证.

常用典型外作用：

1）单位阶跃作用\(1(t)\)

\[1(t)= \begin{cases} 0, & t<0 \\ 1, & t\ge0 \end{cases} \tag{2} \]

其拉氏变换式

\[\begin{aligned} \mathcal{L}\big[1(t)\big] &= \int_{0}^{+\infty} 1(t)e^{-st}dt = \int_{0}^{+\infty} 1*e^{-st}dt \\ &= \frac{1}{-s}\int_{0}^{+\infty}e^{-st}d(-st) \\ &= \frac{1}{-s} \left[e^{-st} \right]_0^{+\infty}\\ &= \frac{1}{-s} [0 - 1] \\ &=\frac{1}{s} \end{aligned} \]

例如，指令的突然转换，电源的突然接通，负荷的突变，常值干扰的突然出现等，都能视为阶跃作用.

2）单位斜坡作用\(t*1(t)\)

\[t\cdot 1(t) = \begin{cases} 0, & t<0 \\ t, & t\ge0 \end{cases} \tag{3} \]

\[\begin{align*} \mathcal{L}\big[t\cdot 1(t)\big]&=\frac{1}{s^2} \end{align*} \]

证明：

\[\mathcal{L}\big[t\cdot 1(t)\big] = \int_0^{+\infty}t*1(t)e^{-st}dt = \int_0^{+\infty}te^{-st}dt \]

设\(u=t,dv=e^{-st}dt\)
有，

\[du=dt, v = -\frac{1}{s}e^{-st} \]

所以，

\[\begin{aligned} \mathcal{L}\big[t\cdot 1(t)\big] &= \int_0^{+\infty}udv = \left[ uv \right]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty}vdu \\ &= \left[ t(-\frac{1}{s}e^{-st}) \right]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty}-\frac{1}{s}e^{-st}dt \\ &= 0 + \frac{1}{s^2} \\ &= \frac{1}{s^2} \end{aligned} \]

例如，大型船闸匀速升降时主拖动系统发出的位置信号，数控机床加工斜面时的进给指令等.

3）单位脉冲作用\(\delta(t)\)

\[\delta(t) = \begin{cases} \infty, & t=0 \\ 0, & t\neq0 \end{cases},\quad \int_{0^{-}}^{0^{+}}\delta(t)\mathrm{d}t=1 \tag{6} \]

\[\mathcal{L}\big[\delta(t)\big]=1 \]

证明：

方法一：利用 \(\delta(t)\) 的取样性质（或筛选性质）

根据拉氏定义：\(\mathcal{L}\big[\delta(t)\big] = \int_{0^{-}}^{+\infty}\delta(t)e^{-st}dt\)

由 \(\delta\) 函数的筛选性质（因为 \(\delta(t)\) 只在 \(t=0\) 处有作用），对于 \(t=0\) 处连续的任意函数 \(g(t)\)，

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)g(t)dt = g(0) \]

这里\(g(t)=e^{-st}, g(0) = e^{-s*0} = 1\)，所以，

\[\mathcal{L}\big[\delta(t)\big] = g(0) = 1 \]

方法二：利用阶跃函数求导与拉氏变换的微分定理

单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数，即：

\[\frac{d}{dt}[1(t)] = \delta(t) \]

注意：该式只在广义函数（分布）视角下成立，经典微积分视角不成立，因为 \(1(t)\) 在 \(t=0\) 处不理想，因此导数不存在.

反向验证：如果\(\frac{d}{dt}[1(t)] = \delta(t)\)成立，那么，

\[\int_{-\infty}^t \delta(\tau)d\tau = 1(t) \]

而这正是\(\delta\) 函数的积分定义：

\(t<0\)，积分区间不包含0，结果一定为0；
\(t>0\)，积分区间包含0，结果为\(\int_{0^-}^{0^+}\delta(\tau)d\tau = 1\)

然后，我们应用拉氏变换的微分性质（参见拉普拉斯变换）

\[\mathcal{L}\big[\frac{df(t)}{dt}] = sF(s) - f(0^-) \]

其中，\(F(s) = \mathcal{L}[f(t)]\)，\(f(0^-)\) 是 \(f(t)\) 在\(t=0^-\)时刻的初始值.

令\(f(t) = 1(t)\)，有，

\[\mathcal{L}\big[\delta(t)] = \mathcal{L}\big[\frac{d1(t)}{dt}] = sF(s) - f(0^-) = s\mathcal{L}[f(t)] - f(0^-) = s*\frac{1}{s} - 0 = 1 \]

单位脉冲作用在现实中不存在，只是某些物理现象数学抽象化处理的结果. 脉冲电信号、冲击力、阵风、大气湍流等，可近似看作脉冲作用.

4）正弦作用 \(Asin\omega t\cdot 1(t)\). \(A\)振幅，\(\omega\)角频率

\[Asin\omega t\cdot 1(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ Asin\omega t, & t\ge 0 \end{cases} \tag{7} \]

拉氏变换：

\[\mathcal{L}\big[ Asin\omega t\cdot 1(t) \big] = \frac{A\omega}{s^2 + \omega^2} \]

证明：
方法一：利用拉氏变换的定义+分部积分

\[\mathcal{L}[Asin\omega t\cdot 1(t)] = A\int_0^{+\infty}sin\omega t\cdot e^{-st}dt \]

令\(u = sin\omega t, dv = e^{-st}dt\)，有 \(du = \omega cos \omega t, v = \frac{1}{-s}e^{-st}\)

所以，

\[\begin{aligned} I=\int_0^{+\infty}sin\omega t\cdot e^{-st}dt &= \int_0^{+\infty} udv = \big[ uv \big]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty}vdu \\ & = \big [sin\omega t\cdot (\frac{1}{-s}e^{-st})\big]_0^{+\infty} -\int_0^{+\infty}\frac{1}{-s}e^{-st}\cdot \omega cos \omega t\\ &= 0 + \frac{\omega}{s}\int_0^{+\infty} e^{-st}cos\omega tdt \\ &= \frac{\omega}{s}\int_0^{+\infty} cos\omega t\cdot e^{-st}dt \end{aligned} \]

再令\(u = cos\omega t, dv = e^{-st}dt\)，有\(du = -\omega sin\omega tdt, v = \frac{1}{-s}e^{-st}\)

所以，

\[\begin{aligned} \int_0^{+\infty} cos\omega t\cdot e^{-st}dt &= \int_0^{+\infty} udv = \big[ uv \big]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty}vdu \\ &= \big[ cos\omega t\cdot (\frac{1}{-s}e^{-st})\big]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} \frac{1}{-s}e^{-st} (-\omega sin\omega tdt) \\ &= [0 + \frac{1}{s}] - \frac{\omega}{s}\int_0^{+\infty}sin\omega t\cdot e^{-st}dt \\ &= \frac{1}{s} - \frac{\omega}{s}I \end{aligned} \]

所以，

\[I = \frac{\omega}{s}[\frac{1}{s} - \frac{\omega}{s}I] \\ \implies I = \frac{\omega}{s^2+\omega^2} \]

所以，

\[\mathcal{L}[Asin\omega t\cdot 1(t)] = AI = \frac{A\omega}{s^2+\omega^2} \]

方法二：欧拉公式+指数变换对

\[\mathcal{L}[Asin\omega t\cdot 1(t)] = A\int_0^{+\infty}sin\omega t\cdot e^{-st}dt \]

由欧拉公式\(e^{jx} = cosx + jsinx\)，知，

\[\begin{cases} cos x = \frac{e^{jx} + e^{-jx}}{2j}\\ sin x = \frac{e^{jx} - e^{-jx}}{2j} \end{cases} \]

所以，

\[\begin{aligned} \mathcal{L}[Asin\omega t\cdot 1(t)] &= \frac{A}{2j}\int_0^{+\infty}\bigg[e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}\bigg] \cdot e^{-st} dt \\ &= \frac{A}{2j}\bigg[ \int_0^{+\infty}e^{-(s - j\omega)t} dt - \int_0^{+\infty}e^{-(s + j\omega )t} dt \bigg] \end{aligned} \]

\[\int_0^{+\infty}e^{-(s - j\omega)t} dt = \frac{1}{-(s - j\omega)} e^{-(s - j\omega)}\bigg|_0^{+\infty} = \frac{1}{-(s - \omega t)}[0 - 1] = \frac{1}{s - j\omega} \\ \]

同理，

\[\int_0^{+\infty}e^{-(s + j\omega )t} dt = \frac{1}{s + j\omega} \]

所以，

\[\mathcal{L}[Asin\omega t\cdot 1(t)] = \frac{A}{2j}[\frac{1}{s - j\omega} - \frac{1}{s + j\omega}] = \frac{A\omega}{s^2 + \omega^2} \]

例如，海浪对船体的扰动力，伺服振动台的输入指令，电源及机械振动的噪声等，可看作正弦外作用.

典型时间响应

初始状态为0的系统，在典型外作用下的输出，称为 典型时间响应.

从数学角度，典型时间响应，就是描述控制系统的微分方程，在典型外作用下的零初始条件解.

典型时间响应：

说明：(a) 单位阶跃响应；(b) 单位斜坡响应；(c) 单位脉冲响应.

单位阶跃响应

单位阶跃响应 \(h(t)\)：系统在单位阶跃输入 \(r(t)=1(t)\) 作用下的响应.

如果系统闭环传递函数 \(\Phi(s)\)，则单位阶跃响应 \(h(t)\) 的拉氏变换：

\[H(s) = \Phi(s)\cdot R(s) = \Phi(s)\cdot \frac{1}{s} \tag{8} \]

所以，

\[h(t) = L^{-1}[H(s)] \]

单位斜坡响应

单位斜坡响应 \(c_t(t)\)：系统在单位斜坡输入 \(r(t) = t\cdot 1(t)\) 作用下的响应.

\(c_t(t)\) 拉氏变换：

\[C_t(s) = \Phi(s)\cdot R(s) = \Phi(s)\cdot \frac{1}{s} \tag{9} \]

所以，

\[c_t(t) = L^{-1}[C_t(s)] \]

单位脉冲响应

单位脉冲响应\(k(t)\)（也称 脉冲过渡函数）：系统在单位脉冲输入 \(r(t) = \delta(t)\) 作用下的响应.

\(k(t)\) 拉氏变换：

\[K(s) = \Phi(s)\cdot R(s) = \Phi(s)\cdot 1 = \Phi(s) \tag{10} \]

所以，

\[k(t) = L^{-1}[K(s)] = L^{-1}[\Phi(s)] \]

三种响应之间关系

由(10)，可将(8)(9)写成：

\[H(s) = \Phi(s)\cdot \frac{1}{s} = K(s)\cdot \frac{1}{s} \tag{10} \]

\[C_t(s) = \Phi(s)\cdot \frac{1}{s^2} = H(s)\cdot \frac{1}{s} \tag{11} \]

所以，

\[K(s) = sH(s) \tag{12} \]

\[H(s) = sC_t(s) \tag{13} \]

(10) 表明，单位脉冲响应积分一次，就是单位阶跃响应；反过来，单位阶跃响应的一次导数，就是单位脉冲响应；

(11) 表明，单位阶跃响应积分一次，就是单位斜坡响应；反过来，单位斜坡响应的一次导数，就是单位阶跃响应.

(10)~(13) 时域表达式：

\[h(t) = \int_0^t k(\tau)d\tau \\ c_t(t) = \int_0^t h(\tau)d\tau \\ k(t) = \frac{dh(t)}{dt} \\ h(t) = \frac{dc_t(t)}{dt} \tag{14} \]

阶跃响应的性能指标

控制系统的时间响应：
1）过渡过程：系统从初始状态到接近最终状态的响应过程；
2）稳态过程：指时间 \(t \to \infty\) 时系统的输出状态.

研究系统的时间响应，就是研究这2个过程的特点、有关指标.

通常，以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义时域性能指标. 系统阶跃响应性能指标：

1）延迟时间 \(t_d\)：单位阶跃响应曲线 \(h(t)\) 上升到其稳态值的50%所需时间；
2）上升时间 \(t_r\)：\(h(t)\) 从稳态值的10%上升到90%所需时间（有时指从0到100%）；
3）峰值时间 \(t_p\)：\(h(t)\) 超过稳态值而达到第一个峰值所需时间；
4）超调量 \(\sigma \%\)：响应过程中，超出稳态值的最大偏离量与稳态值之比：

\[\sigma \% = \frac{h(t_p) - h(\infty)}{h(\infty)} \times 100\% \tag{15} \]

其中，\(h(t_p)\) 单位阶跃响应的峰值，\(h(\infty)\) 稳态值.

5）调节时间 \(t_s\)：稳态值附近，取±5%（有时±2%）作为误差带，响应曲线达到并不再超出该误差带的最小时间，称为调节时间（或过渡过程时间）. \(t_s\) 标志着过渡过程结束，系统进入稳态过程.

6）稳态误差 \(e_{ss}\)：\(t\to \infty\)时，系统单位阶跃响应的实际值（稳态值）与期望值（一般为输入量\(1(t)\)）之差，一般定义为 稳态误差. 即：

\[e_{ss} = 1 - h(\infty) \tag{16} \]

\(h(\infty) = 1\)表示系统误差为0.

延迟时间 \(t_d\)、上升时间 \(t_r\)、峰值时间 \(t_p\) 表征系统响应初始阶段的快慢；

调节时间 \(t_s\) 表示过渡过程持续时间，系统快速性的指标；

超调量 \(\sigma \%\) 反应系统响应的平稳性；

稳态误差反映系统浮现输入信号的稳态精度.

下面侧重以超调量 \(\sigma \%\)、调节时间 \(t_s\)、稳态误差 \(e_{ss}\)，分别评价系统单位阶跃响应的平稳性、快速性、稳态精度.

一、二阶系统分析与计算

一阶系统的数学模型及单位阶跃响应

一阶系统：由一阶微分方程描述的系统.

一阶系统微分方程：

\[T\frac{dc(t)}{dt}+c(t) = r(t) \tag{17} \]

其中，\(c(t)\) 输出量，\(r(t)\) 输入量，\(T\) 时间常数

结构图：

闭环传递函数：

\[\Phi (s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{1}{\frac{1}{K}s + 1} = \frac{1}{Ts + 1} \tag{18} \]

其中，\(T=\frac{1}{K}\)

上面2个式子，称为一阶系统的数学模型. \(T\) 是表征系统惯性的一个主要参数，所以一阶系统也成为惯性系统. 不同系统中，T物理意义不同.

对于单位阶跃输入，其拉氏变换：

\[R(s) = \frac{1}{s} \]

由(18)，

\[C(s) = \Phi(s)\cdot R(s) = \frac{1}{Ts+1}\cdot \frac{1}{s} \]

两边反拉式变换，可得一阶系统的单位阶跃响应：

\[\begin{aligned} h(t) &= \mathcal{L}^{-1}\big[ \frac{1}{Ts+1}\cdot \frac{1}{s} \big] = \mathcal{L}^{-1}\big[ \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}} \big] \\ &= \mathcal{L}^{-1}\big[ \frac{1}{s} \big] - \mathcal{L}^{-1}\big[ \frac{1}{s+\frac{1}{T}} \big] \\ &= 1(t) - e^{-\frac{1}{T}t}, t\ge 0 \\ &= 1 - e^{-\frac{1}{T}t}, t\ge 0 \end{aligned} \tag{19} \]

也可以写成：\(h(t) = c_{ss} + c_{tt}\)
其中，\(c_{ss} = 1\) 稳态分量，\(c_{tt} = - e^{-\frac{1}{T}t}\) 瞬态分量.

当\(t\to \infty\) 时，\(c_{tt}\to 0\)，即衰减为0

i.e. 一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由0开始，按指数规律上升，最终趋于1的曲线，如下图：

T表征响应特性的唯一参数，与输出值有确定关系：

\[t= T, h(T) = 0.632\\ t= 2T, h(2T) = 0.865\\ t= 3T, h(3T) = 0.950\\ t= 4T, h(4T) = 0.982 \]

二阶系统的数学模型

二阶系统：二阶微分方程描述的系统.

e.g. RLC网络，有质量的物体运动，忽略电枢电感 \(L_a\) 后的电动机.

微分方程：

\[\frac{d^2c(t)}{dt^2} + 2\zeta\omega_n \frac{dc(t)}{dt} + \omega_n^2c(t) = \omega_n^2r(t), \quad (\omega_n > 0) \tag{20} \]

其中，\(r(t)\) 系统输入量，\(c(t)\) 系统输出量，\(\omega_n\) 无阻尼自然频率或固有频率，\(\zeta\) 阻尼比.

对上式两边进行拉氏变换：

\[左边 = s^2C(s) + 2\zeta \omega_n\cdot sC(s) + \omega_n^2C(s) \\ 右边 = \mathcal{L}\big[ \omega_n^2r(t) \big] = \omega_n^2R(s) \]

所以，

\[s^2C(s) + 2\zeta \omega_n\cdot sC(s) + \omega_n^2C(s) = \omega_n^2R(s) \\ (s^2 + 2\zeta\omega_n + \omega_n^2) C(s) = \omega_n^2R(s) \]

定义传递函数：

\[\Phi(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\omega_n^2R(s)}{s^2 + 2\zeta\omega_n + \omega_n^2} \tag{21} \]

对应系统结构如下图：

二阶系统特征方程：

\[s^2 + 2\zeta\omega_n + \omega_n^2 = 0 \tag{22} \]

特征根：

\[s_{1,2} = \frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\zeta\omega_n±\sqrt{4(\zeta\omega)^2-4\omega_n^2}}{2}=-\zeta\omega_n ± \omega_n\sqrt{\zeta^2-1} \tag{23} \]

二阶系统微分方程对应特征方程的根，也称为 二阶系统闭环极点.

输入信号是阶跃信号时，微分方程(20)右边为常数，由二阶非齐次线性微分方程的通解定理（参见同济大学的高等数学第六版上第7章定理3），知微分方程解的形式为：

\[c(t) = A_0+A_1e^{s_1t}+A_2e^{s_2t} \tag{24} \]

其中，\(A_0\) 是一个特解，\(A_1,A_2\)是(20)对应的齐次微分方程的通解的系数. \(A_0,A_1,A_2\) 由\(r(t)\)和初始条件确定.

由(23)，

1）当\(0<\zeta<1\)时，特征方程有一对实部为负的共轭复根（\(s_{1,2}=-\zeta\omega_n±j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)），系统时间响应具有振荡特性，称为欠阻尼状态.

2）当\(\zeta=1\)时，有2个相等的负实根，称为 临界阻尼状态.

3）当\(\zeta>1\)时，有2个不相等的负实根，称为 过阻尼状态. 临界阻尼状态、过阻尼状态，系统时间响应无振荡.

4）当\(\zeta =0\)时，有一对纯虚根，称为 零阻尼状态. 系统时间响应为持续的等幅振荡.

5）当\(\zeta<0\)时，特征方程有2个正实部的根，称为负阻尼状态. \(c(t)\) 发散，系统不稳定.

\(\zeta\) 不同值，特征方程的根在s平面上的分布也不同，如下图：

二阶系统响应特性由\(\omega_n,\zeta\) 2个参数描述，它们是二阶系统的结构参数.

改善二阶系统响应的措施

一阶系统响应唯一地与时间常数T有关. 如果要改善一阶系统响应的性能，只要改变T即可. 如提供快速性，只需要减少T.

二阶系统的性能与阻尼比相关. 如果要改善二阶系统的响应性能，一般措施是改变二阶系统的阻尼比\(\zeta\)，直接影响平稳性、快速性. 常用措施：误差信号的PI控制和输出量的速度反馈控制.

系统稳定性分析

一个控制系统，一旦受到外界/内部扰动（如负载、能源波动），就偏离原来工作状态，并且越偏越远；在扰动消失后，也不能恢复到原来状态. 这类现象，称为系统的不稳定线性. 不稳定系统无法工作.

稳定性，是控制系统的重要性能，是系统正常工作的首要条件.

稳定性概念

例，如下图，

(a) 原平衡位置\(A_0\)，小球受外力后偏离\(A_0\)，外力取消后，在重力、空气阻尼力作用下，来回振荡，最终回到\(A_0\). 有这种特性的平衡，是稳定的.

(b) 外力作用后偏离\(A_0\)，不会回到\(A_0\)，这是不稳定的.

推广到控制系统：如果系统受到扰动，偏离原平衡状态，产生偏差. 当扰动消失后，若系统能恢复到原来的平衡状态，则称系统稳定（或具有稳定性）；相反，若系统不能恢复原来的平衡状态，则称系统不稳定（或不具有稳定性）.

稳定性：扰动消失后，系统的恢复能力，固有特性.

我们讨论的线性定常系统，该固有稳定性只取决于系统的结构、参数，与初始条件、外作用无关.

稳定的数学条件

系统稳定性取决于增量方程的拉氏变换后，所得方程对应特征方程的根.

设系统的线性化增量方程：

\[\begin{aligned} & a_0 \frac{\mathrm{d}^n c(t)}{\mathrm{d}t^n} + a_1 \frac{\mathrm{d}^{n-1} c(t)}{\mathrm{d}t^{n-1}} + \cdots + a_{n-1} \frac{\mathrm{d}c(t)}{\mathrm{d}t} + a_n c(t) \\ =\;& b_0 \frac{\mathrm{d}^m r(t)}{\mathrm{d}t^m} + b_1 \frac{\mathrm{d}^{m-1} r(t)}{\mathrm{d}t^{m-1}} + \cdots + b_{m-1} \frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t} + b_m r(t) \tag{25} \end{aligned} \]

拉氏变换：

由拉普拉斯微分定理：

一阶导数拉氏变换：\(\mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\right] = sF(s) - f(0^-) \)

二阶导数：\(\mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}^2 f(t)}{\mathrm{d}t^2}\right] = s^2F(s) - s f(0^-) - f'(0^-)\)

n阶导数通用公式：\(\mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}^n f(t)}{\mathrm{d}t^n}\right] = s^n F(s) - \sum_{k=1}^{n} s^{n-k} f^{(k-1)}(0^-)\)

如果系统初始条件不为零，导数做拉氏变换，一定会多出带初始值的额外项，我们记为\(M_0(s)\)

\[\begin{aligned} & \big(a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1} s + a_n\big)C(s) \\ =\;& \big(b_0 s^m + b_1 s^{m-1} + \cdots + b_{m-1} s + b_m\big)R(s) + M_0(s) \end{aligned} \]

简写：

\[D(s)C(s) = M(s)R(s) + M_0(s) \tag{26} \]

其中，

\(D(s)=a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1} s + a_n\)（标准 n 次多项式形式），即系统的闭环特征式（输出端算子式，一元实系数特征多项式）；

\(M(s)=b_0 s^m + b_1 s^{m-1} + \cdots + b_{m-1} s + b_m\)，即输入端算子式；

\(R(s)\) 输入，\(C(s)\) 输出，\(M_0(s)\) 与系统初始状态有关的多项式.

由(26)，可得因式分解形式，

\[C(s)=\frac{M(s)}{D(s)}\cdot R(s)+\frac{M_0(s)}{D(s)} \tag{27} \]

特征方程：\(D(s)=0\)，假设有n个不同特征根\(s_i(i=1,2,3,\cdots,n)\)，那么，

\[D(s)=a_0\prod_{i=1}^{n}(s-s_i) \tag{28} \]

而输入\(R(s)\) 本身也是有理分式形式：\(R(s)=\frac{N_r(s)}{D_r(s)}\)，例如单位阶跃：\(R(s)=\frac{1}{s}\)，单位斜坡\(R(s)=\frac{1}{s^2}\)，指数信号\(R(s)=\frac{1}{s+a}\).

于是，我们设\(R(s)\) 有\(l\)个互异极点\(s_{rj}(j=1,2,3,\cdots,l)\)

说明：传递函数极点，指使分母多项式等于 0 的 s 取值.

能否将\(C(s)\)展开成极点的表达式？

答案是可以的.

第一步：把\(C(s)\)两项拆开，分开做部分分式.

\[C(s)=\underbrace{\frac{M_0(s)}{D(s)}}_{\text{项1：零输入响应}}+\underbrace{\frac{M(s)\,N_r(s)}{D(s)\,D_r(s)}}_{\text{项2：零‑状态响应}} \]

举例说明，

零输入响应：把水龙头完全关死（外部输入为0），只观察杯中原本就有的那杯水，在重力作用下自然流空的过程. 这个响应只取决于初始时刻杯里有多少水（初始状态）.

零状态响应：把杯子先倒空（初始状态为0），然后打开水龙头，让水以一定的流量注入杯中，观察水从无到有、逐渐上升的过程. 这个响应只取决于水龙头的进水情况（外部输入）.

零输入响应定义（Zero-Input Response, ZI）：

系统在没有外部输入信号激励时（即输入激励 \(f(t)=0\)），仅仅由系统初始时刻储存的“能量”（即初始状态，如电容初始电压、电感初始电流）所产生的响应. 记为\(y_{zi}(t)\).

零状态响应定义（Zero-State Response, ZS）：

系统在初始状态为零（即系统内部没有储存能量，如电容电压为0、电感电流为0）时，仅仅由外部输入信号 \(f(t)\) 所产生的响应. 记为\(y_{zs}(t)\).

对于线性系统，全响应 = 零输入响应 + 零状态响应，即

\[y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t) \]

（1）处理第一项\(\frac{M_0(s)}{D(s)}\)

分母有n个互不相等极点\(s_i\). 根据 单根部分分式分解定理（参见同济大学的高等数学第六版上 P213）：如果一个有理分式的分母可以分解为若干个互不相同的一次因式的乘积，那么这个分式就可以唯一地拆分成几个最简分式（分母为一次式）的和.

数学描述：

设有一个真分式（分子次数 < 分母次数）：

\[R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \]

如果分母\(Q(x)\)能分解成互不相同的一次因式的乘积：

\[Q(x)=k(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n) \]

其中，\(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 是互不相等的实数或复数（“单根”），那么\(R(x)\)能唯一分解为：

\[\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+\cdots+\frac{A_n}{x-a_n} \]

其中，\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)是待定常数.

也就是说，真有理分式可以拆成每一个极点对应的分式之和.

因为分母只有 n 个互不相等极点，所以，我们将第一项分解为：

\[\frac{M_0(s)}{D(s)} = \sum_{i=1}^n\frac{A_{i0}}{s-s_i} \]

其中，\(A_{i0}\) 是待定系数.

（2）处理第二项\(\frac{M(s)N_r(s)}{D(s)D_r(s)}\)

完整分母：\(D(s)D_r(s)\)
极点有两套：

系统极点：\(s_1\cdots s_n\)
输入极点：\(s_{r1}\cdots s_{rl}\)

我们默认所有系统极点、输入极点互不重合.

所以，使用单根部分分式展开，

\[\frac{M(s)N_r(s)}{D(s)D_r(s)} = \sum_{j=1}^l\frac{B_j}{s-s_{rj}} + \sum_{i=1}^n\frac{C_i}{s-s_i} \]

第二步：合并全部分项

\[C(s) = \sum_{i=1}^n\frac{A_{i0}}{s-s_i} + \sum_{j=1}^l\frac{B_j}{s-s_{rj}} + \sum_{i=1}^n\frac{C_i}{s-s_i} \tag{29} \]

对上式进行拉氏反变换，

\[c(t) = \sum_{i=1}^n A_{i0}e^{s_it} + \sum_{j=1}^l B_je^{s_{rj}t} + \sum_{i=1}^n C_ie^{s_it} \tag{30} \]

其中，第二项稳态分量，即微分方程特解，运动规律取决于输入作用；第一三项瞬态分量，微分方程的通解，运动规律取决于特征根\(s_i\)，即由系统的结构参数确定.

瞬态分量决定系统去扰动后的恢复能力. 对于线性系统，输出量\(c(t)\)为对原来工作平衡点的增量. 所以，系统要稳定，只需要上式瞬态分量随时间推移渐近为0即可.

所以，稳定性定义：

\[\lim\limits_{t\to \infty}\sum_{i=1}^n(A_{i0}+C_i)e^{s_it}=0 \tag{31} \]

或

\[\lim\limits_{t\to \infty}\sum_{i=1}^nA_{i}e^{s_it}=0 \tag{32} \]

其中，\(A_i=A_{i0}+C_i\)为任意常数值.

可以用反证法证明：

\[\lim\limits_{t\to \infty}e^{s_it} = 0, i=1,2,3,\cdots,n \tag{33} \]

证明：

特征根\(s_i=\sigma_i+j\omega_i\)，\(\sigma_i\)实部，\(\omega_i\)虚部.

所以，\(e^{s_it} = e^{\sigma_it}\cdot e^{j\omega_it}\)
\(e^{j\omega_i t}\) 是等幅振荡，模长\(|e^{j\omega_it}|=1\).

由前面假设，知所有\(s_i\)是\(D(s)=0\)互不相同的根（互异极点）
所以，通解是各个独立模块\(A_ie^{s_it}\)的线性叠加，模态之间线性无关.

即每个\(e^{s_1t},e^{s_2t},\cdots,e^{s_nt}\)是完全独立、不能相互抵消的函数

对于任意常数\(A_1,A_2,\cdots, A_n\)，

\[\lim\limits_{t\to \infty}(A_1e^{s_1t} + A_2e^{s_2t}+\cdots + A_ne^{s_nt}+) = 0 \]

1）假设某一根\(s_k\)实部\(\sigma_k>0\)

那么，\(e^{\sigma_kt}\)会随着\(t\to \infty\)趋向于无穷；

现在，取\(A_k=1\)，其余全部\(A_i=0\)（因为\(A_i\)是任意常数）

式子变成\(\lim\limits_{t\to \infty}e^{s_kt}\to \infty\)，这与和极限为0矛盾.

2）假设\(\sigma_k=0\)

那么，\(s_k=j\omega_k,e^{s_k t}=e^{j\omega_k t}\) 为恒定幅值的等幅振荡，极限不存在，也不会等于0

3）知识性唯一可行情况：全部特征根\(s_i\)实部\(\sigma_i < 0\)

此时，

\[\lim\limits_{t\to \infty}e^{s_i t} = \lim\limits_{t\to \infty}e^{\sigma_i t}e^{j\omega_i t} = 0 \]

证毕.

这个式子表明，系统稳定性取决于特征根\(s_i\)性质. 系统稳定的充要条件特征方程所有根都有负实部，或者说都位于s平面的虚轴左边.

特征根\(s_i\)性质对稳定性影响：

当\(s_i\)为实根时，\(s_i=\sigma_i\)，有

\[\begin{cases} \sigma_i < 0, & \lim\limits_{t\to \infty} e^{s_it} = 0\\ \sigma_i = 0, & \lim\limits_{t\to \infty} e^{s_it} = 1\\ \sigma_i > 0, & \lim\limits_{t\to \infty} e^{s_it} = \infty\\ \end{cases} \tag{34} \]

时间曲线：

曲线表明：只有所有实根为负，系统才稳定.

当\(s_i\)为共轭复根时，\(s_i=\sigma_i±j\omega_i\)（实部相等，虚部符号相反，两者互为共轭），(33) 分量可写成：

\[A_ie^{(\sigma_i+j\omega_i)t}+A_{i+1}e^{(\sigma_i-j\omega_i)t} \]

其中，\(A_i,A_{i+1}\) 是共轭的任意常值. 上式可改写为：

\[Ae^{\sigma_i t}sin(\omega_i t+\varphi_i) \tag{35} \]

如果复实根部，
\(\sigma_i < 0\)，则\(\lim\limits_{t\to \infty}e^{\sigma_it}sin (\omega_i t+\varphi_i) = 0\)；

\(\sigma_i = 0\)，则\(e^{\sigma_it}sin (\omega_i t+\varphi_i) = sin(\omega_i t+\varphi_i)\)；

\(\sigma_i > 0\)，则\(\lim\limits_{t\to \infty}e^{\sigma_it}sin (\omega_i t+\varphi_i) = \infty\).

这表明，当复实根部为0时，即特征方程有纯虚根，相应瞬态分量为等幅振荡，是临界情况，因为系统参数变换、扰动不可避免，所以实际不存在，属于不稳定情况；
当复实根部为正时，瞬态分量\(e^{\sigma_it}sin (\omega_i t+\varphi_i)\) 呈振荡性发散，不稳定；
所以，系统特征方程有共轭复根时，必须所有复根的实部均为负值，系统才稳定.

时间曲线：

上面都基于假设系统的特征根互异，如果有重根呢？

如果特征方程有重根，则瞬态分量中有如下分量：\(e^{s_it}, te^{s_it},t^2e^{s_it},\cdots,t^{k-1}e^{s_it}\) （k重根个数）（特征根相同，但n阶微分方程必须要有n个相互独立，即线性无关的解，因此，我们构造出k个线性无关的解）. 当\(t\to \infty\)时，这些分量是否收敛到0，仍取决于特征根\(s_i\)性质.

综上，判别系统稳定 = 判别系统特征根实部的符号.

稳定性判据

系统稳定性取决于特征根实部的符号. 而对于高阶系统，很难求出特征根. 这里介绍几种方法，直接判断出根是否都在s平面虚轴之左，不必求出特征根.

赫尔维茨（Hurwitz）判据

系统特征方程一般形式：

\[D\left(s\right)=a_0 s^{n}+a_1 s^{n-1}+\dots +a_{n-1}s+a_n=0 \tag{36} \]

首次项系数规定为\(a_0>0\).

系统稳定充要条件：特征方程的赫尔维茨行列式\(D_k(k=1,2,3,\cdots,n)\)全部为正. 各阶赫尔维茨行列式：

\[\begin{align*} &D_1=a_1,\quad D_2= \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{vmatrix},\quad D_3= \begin{vmatrix} a_1 & a_3 & a_5 \\ a_0 & a_2 & a_4 \\ 0 & a_1 & a_3 \end{vmatrix},\;\dots\\ &D_n= \begin{vmatrix} a_1 & a_3 & a_5 & \dots & a_{2n-1} \\ a_0 & a_2 & a_4 & \dots & a_{2n-2} \\ 0 & a_1 & a_3 & \dots & a_{2n-3} \\ 0 & a_0 & a_2 & \dots & a_{2n-4} \\ 0 & 0 & a_1 & \dots & a_{2n-5} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_n \end{vmatrix} \end{align*}\tag{37} \]

林纳德-奇帕特（Lienard-Chipard）判据

赫尔维茨的推广，可减少计算行列式工作量.

系统稳定充要条件：

1）系统特征方程的各项系数 > 0，即\(a_i>0 (i=0,1,2,\cdots,n)\)；
2）奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式 > 0，即\(D_奇 > 0\) 或 \(D_偶 > 0\).

第1）条是必要条件，满足1），才计算2）.

劳思（Routh）判据

对于高阶系统特征方程，赫尔维茨 / 林纳德-奇帕特计算行列式工作量巨大，可用劳思判据.

如果特征方程：

\[a_0 s^{n}+a_1 s^{n-1}+\dots+a_{n-1}s+a_n=0 \]

则劳思表中各项系数如下表所示：

\(s^n\)	\(a_0\)	\(a_2\)	\(a_4\)	\(a_6\)	...
\(s^{n-1}\)	\(a_1\)	\(a_3\)	\(a_5\)	\(a_7\)	...
\(s^{n-2}\)	\(c_{13} = \dfrac{a_1 a_2 - a_0 a_3}{a_1}\)	\(c_{23} = \dfrac{a_1 a_4 - a_0 a_5}{a_1}\)	\(c_{33} = \dfrac{a_1 a_6 - a_0 a_7}{a_1}\)	\(c_{43}\)	...
\(s^{n-3}\)	\(c_{14} = \dfrac{c_{13} a_3 - a_1 c_{23}}{c_{13}}\)	\(c_{24} = \dfrac{c_{13} a_5 - a_1 c_{33}}{c_{13}}\)	\(c_{34} = \dfrac{c_{13} a_7 - a_1 c_{43}}{c_{13}}\)	\(c_{44}\)	...
\(s^{n-4}\)	\(c_{15} = \dfrac{c_{14} c_{23} - c_{13} c_{24}}{c_{14}}\)	\(c_{25} = \dfrac{c_{14} c_{33} - c_{13} c_{34}}{c_{14}}\)	\(c_{35} = \dfrac{c_{14} c_{43} - c_{13} c_{44}}{c_{14}}\)	\(c_{45}\)	...
\(s^2\)	\(c_{1,n-1}\)	\(c_{2,n-1}\)
\(s^1\)	\(c_{1,n}\)
\(s^0\)	\(c_{1,n+1} = a_n\)

那么，系统稳定充要条件：劳思表中第一列所有元素符号相同（但不为0）.
而且，该列中数值符号改变的次数 = 特征方程中正实根的数目.

劳思表和赫尔维茨本质相同. 劳思表第一列和赫尔维茨行列式关系：

\[a_0 = a_0, \, a_1 = D_1, \, c_{13} = D_2 / D_1, \, c_{14} = D_3 / D_2 \\ c_{15} = D_4 / D_3, \, \cdots, \, c_{1n} = D_{n-1} / D_{n-2}, \, c_{1,n+1} = D_n / D_{n-1} \]

结构不稳定改进措施

有些系统，仅靠调整参数无法稳定，称为结构不稳定系统. 如下图，液位控制系统，\(\frac{K_0}{s}\) 控制对象水箱的传递函数；\(K_1\) 进水阀门的传递函数；\(K_p\) 杠杆比；\(K_m/s(T_ms+1)\) 执行电机的传递函数. \(H_0\) 液面高度参考，\(H\) 实际液面高度.

闭环特征方程：

\[T_ms^3+s^2+K = 0 \]

其中，\(K=K_pK_mK_1K_0\).

于是，特征方程系数：

\[a_0=T_m,a_1=1,a_2=0,a_3=K \]

因为\(a_2=0\)，根据林纳德-奇帕特判据，系统不稳定，无论怎样调整参数\(K, T_m\)，都不能使系统稳定，这是一个结构不稳定系统. 要使得系统稳定，必须改变原系统结构.

造成系统结构不稳定原因：前向通路中有2个积分环节串联，而传递函数的分子只有增益K，造成特征方程缺项，即\(s\)的一次项系数为0.

为消除不稳定，有2种方法：1）改变积分性质；2）引入比例-微分控制，补上特征方程中的缺项.

1. 改变积分性质

方式一：用反馈\(K_H\)包围积分环节，破坏积分性质. 如下图，

积分环节被包围后的传递函数：

\[\frac{X_2(s)}{X_1(s)}=\frac{K_0}{s+K_0K_H} \]

推导过程：

前向通道是纯积分环节\(\frac{K_0}{s}\)，反馈通道是\(K_H\)（单位负反馈）.

根据反馈系统的闭环传递函数公式（参见自动控制：自动控制系统数学模型输入信号r(t)作用下的闭环传递函数）：

\[\frac{X_2(s)}{X_1(s)} = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \]

代入\(G(s)=\frac{K_0}{s}, H(s)=K_H\)

\[\frac{X_2(s)}{X_1(s)} = \frac{\frac{K_0}{s}}{1+\frac{K_0}{s}\cdot K_H} = \frac{K_0}{s+K_0K_H} \]

于是，分母从原来的\(s\)（纯积分）变成了\(s+K_0K_H\)（一阶惯性），破坏了积分性质.

方式二：用反馈\(K_H\)包围电动机的传递函数. 如下图，

电动机被包围后的传递函数：

\[\frac{X_2(s)}{X_1(s)} = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \]

其中，\(G(s)=\frac{K_m}{s(T_ms+1)}, H(s)=K_H\)

所以，

\[\frac{X_2(s)}{X_1(s)} = \frac{\frac{K_m}{s(T_ms+1)}}{1+\frac{K_m}{s(T_ms+1)}\cdot K_H}=\frac{K_m}{s(T_ms+1) + K_mK_H} = \frac{K_m}{T_ms^2+s+K_mK_H} \]

特征方程\(T_ms^2+s+K_mK_H = 0\)，不再单独含有纯积分项\(s\)，所以积分性质被破坏.

破坏积分性质，改善了系统稳定性，但同时会使得系统的稳态精度下降. 因此，常采用第2种方法.

2. 引入比例-微分控制

如上图，在原系统的前向通路中，引入比例-微分控制. 闭环传递函数：

\[\Phi(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \]

由结构图可知，这是单位负反馈系统，所以\(H(s)=1\)，而\(G(s)=\frac{(\tau s+1)K}{s^2(T_ms+1)}\)

所以，

\[\Phi(s) = \frac{\frac{(\tau s+1)K}{s^2(T_ms+1)}}{1+\frac{(\tau s+1)K}{s^2(T_ms+1)}}=\frac{(\tau s+1)K}{s^2(T_ms+1) + (\tau s+1)K} \]

特征方程：

\[T_ms^3+s^2+K\tau s+K=0 \]

由林纳德-奇帕特判据知，系统稳定充要条件：
1）\(a_i>0\)，则\(T_m,K,\tau > 0\)；
2）\(D_2>0, D_2=a_1a_2-a_0a_3\)，则\(K\tau - KT_m>0\)，可得\(\tau > T_m\).

引入PI控制后，补上了特征方程中\(s\)一次项系数\(a_2\)，从而让系统稳定.

稳态误差分析、计算

稳态误差，系统控制精度的一种度量. 它与系统结构、参数、外作用形式密切相关.

误差与稳态误差

系统误差\(e(t)\) 一般定义：

\[e(t) = 期望值 - 实际值 \tag{38} \]

对于如下图系统典型结构，误差定义有两种：

1）

\[e(t)=r(t)-c(t) \tag{39} \]

其中，\(r(t)\) 期望值，\(c(t)\) 实际值.

2）

\[e(t)=r(t)-b(t) \tag{40} \]

其中，\(r(t)\) 期望值，\(b(t)\) 反馈的实际值. 通常，\(H(s)\) 是测量装置的传递函数.

当反馈是单位反馈时，\(H(s)=1\)，上面两种定义统一为(39). \(e(t)\) 常称为系统的误差响应，反映了系统中跟踪输入信号\(r(t)\)、抑制扰动信号\(n(t)\)的能力和精度.

对于高阶系统，\(e(t)\)跟\(c(t)\)一样很难求出. 如果只是关心系统控制过程平稳下来后的误差，即系统误差响应的瞬态分量消失后的稳态误差，那么就比较简单.

稳态误差定义：稳定系统误差的终值.

当\(t\to \infty\)时，\(e(t)\)极限存在，那么稳态误差：

\[e_{ss}=\lim\limits_{t\to \infty}e(t) \tag{41} \]

稳态误差的计算

实际工程应用中，我们很难判断稳态误差，即 \(\lim\limits_{t\to \infty}e(t)\) 极限是否存在，根据拉氏变换的终值定理，将判断时域上该极限是否存在，转化为频域上\(\lim\limits_{s\to 0} sE(s)\)极限是否存在.

具体描述：

如果\(e(t)\)的拉氏变换为\(E(s)\)，且\(\lim\limits_{t\to \infty}e(t), \lim\limits_{s\to 0} sE(s)\)存在，则

\[e_{ss}=\lim\limits_{t\to \infty}e(t) = \lim\limits_{s\to 0} sE(s) \tag{42} \]

如何判断\(\lim\limits_{s\to 0} sE(s)\)极限是否存在？

答：当\(E(s)\)是有理分式函数时（\(E(s)=\frac{N(s)}{D(s)}\)），根据系统稳定性数学条件（特征方程特性），\(\lim\limits_{s\to 0} sE(s)\)存在且有为有限值的充要条件：\(sE(s)\)所有极点（即分母的根）都在复平面的左半平面（不含虚轴和右半平面）.

而当\(E(s)\)不是有理分式函数时，终值定理求稳态误差的方法失效，可以用频率特性法、动态误差系数法，或者回归到直接求 \(\lim\limits_{t\to \infty}e(t)\) 的方法.

对(40)进行拉氏变换，

\[E(s) = R(s) - B(s) \tag{43} \]

其中，\(B(s)\) 反馈量\(b(t)\)的拉氏变换，

\[B(s) = \Phi_{BR}(s)R(s) + \Phi_{BN}(s)N(s) \tag{44} \]

其中，\(\Phi_{BR}(s)\) 反馈量\(B(s)\) 对输入 \(R(s)\) 的闭环传递函数；\(\Phi_{BN}(s)\) 反馈量\(B(s)\) 对干扰\(N(s)\)的闭环传递函数.

所以，

\[\begin{aligned} E(s) &= R(s) - B(s) = R(s) - \Phi_{BR}(s)R(s) + \Phi_{BN}(s)N(s) \\ &= [1-\Phi_{BR}(s)] R(s) + \Phi_{BN}(s)N(s) \end{aligned} \tag{45} \]

由系统结构图，可求出：

\[\begin{aligned} 1 - \Phi_{BR}(s) &= 1 - \dfrac{G_1(s)G_2(s)H(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)} \\ &= \dfrac{1}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)} = \Phi_{ER}(s) \end{aligned} \tag{46} \]

其中，\(\Phi_{ER}(s)\) 系统对输入信号的误差传递函数.

\[\Phi_{BN}(s) = \frac{G_2(s)H(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)} = -\Phi_{EN}(s) \tag{47} \]

其中，\(\Phi_{BN}\) 系统对干扰的误差传递函数.

证明(46)：

1）推导\(\Phi_{BR}(s)\)

令\(N(s)=0\)，系统退化为标准负反馈闭环

输出对于输入的闭环传递函数：

\[\Phi_{CR}(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G_1G_2}{1+G_1G_2H} \]

反馈量\(B(s)=H(s)C(s)\)，两边同时除以\(R(s)\)：

\[\Phi_{BR} (s) = \frac{B(s)}{R(s)} = H(s)\cdot \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G_1G_2H}{1+G_1G_2H} \]

2）求\(1 - \Phi_{BR}(s)\)

\[1 - \Phi_{BR}(s) = \frac{G_2(s)H(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)} \]

3）为什么等于\(\Phi_{ER}(s)\)

\(\Phi_{ER}(s)\) 是误差\(E(s)\)对输入\(R(s)\)的闭环传递函数（\(N(s)=0\)时）：

\[E(s) = R(s) - B(s) \]

当\(N=0\)时，\(B(s)=\Phi_{BR}(s)R(s)\)

所以，

\[E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-\Phi_{BR}(s)R(s) = [1-\Phi_{BR}(s)]R(s) \]

两边除以\(R(s)\)：

\[\Phi_{ER}(s)=\frac{E(s)}{R(s)} = 1-\Phi_{BR}(s) \]

证毕.

证明(47)：

令\(R(s)=0\)，只看干扰\(N(s)\)单独作用.

沿着信号流列出方程：

1）第一个比较点（R=0）

\[E(s) = R(s) - B(s) = -B(s) \]

2）\(E(s)\)经\(G_1\)后，与\(N\)相加

\[G_{2in}=N+G_1E=N-G_1E \]

3）经\(G_2\)后输出

\[C=G_2\cdot [N(s) - G_1\cdot B] \]

4）反馈量\(B(s)=H(s)\cdot C(s)\)

将3）两边乘以\(H(s)\)

\[HC=G_2\cdot H[N - G_1\cdot B] = B\\ (1+G_1G_2H)B=G_2HN \\ \]

所以，

\[\Phi_{BR}(s) =\frac{B}{N}=\frac{G_2H}{1+G_1G_2H} \]

而

\[\Phi_{EN}(s)=\frac{E}{N}=\frac{-B}{N}=-\Phi_{BR}(s) \]

证毕.

由(45)(46)(47)，

\[E(s)=\Phi_{ER}(s)R(s)+\Phi_{EN}(s)N(s) \tag{48} \]

如果具备应用终值定理条件（极限存在），那么，

\[e_{ss} = \lim\limits_{s\to 0}sE(s) = \lim\limits_{s\to 0}sE_R(s) + \lim\limits_{s\to 0}sE_N(s) = e_{ssr} + e_{ssn} \tag{49} \]

其中，\(E_R(s),e_{ssr}\) 分别为输入信号引起的误差的拉氏变换式、稳态误差；\(E_N(s),e_{ssn}\) 干扰引起的误差的拉氏变换式、稳态误差.

\(\Phi_{ER}(s), \Phi_{EN}(s)\) 分母与闭环传递函数 \(\Phi(s)\) 的相同（都是\(E(s)\)），也是闭环特征方程（\(E(s)=0\) 左边），所以，应用终值定理条件实际上包含系统必须稳定. 对于不稳定系统，无法进入稳态，求稳态误差没有意义.

这个式子(49)为什么成立？

由(48)可知，线性系统满足叠加原理，可以分开计算各自产生的误差，然后再相加：

仅输入\(R(s)\)，扰动\(N(s)=0\)：\(E_R(s)=\Phi_{ER}(s)R(s)\)；
仅扰动\(N(s)\)，扰动\(R(s)=0\)：\(E_N(s)=\Phi_{EN}(s)N(s)\)；

总误差：\(E(s) = E_{R}(s)+E_{N}(s)\)

然后，应用终值定理，系统时域稳态误差：

\[\begin{aligned} e_{ss} &= \lim\limits_{t\to \infty}e(t) = \lim\limits_{s\to 0}sE(s) \\ &= \lim\limits_{s\to 0}s[E_{R}(s)+E_{N}(s)] \\ &= \lim\limits_{s\to 0}sE_R(s) + \lim\limits_{s\to 0}sE_N(s) \\ &= e_{ssr} + e_{ssn} \end{aligned} \]

\(e_{ssr}\)与系统结构参数关系

只有输入\(r(t)\)时，系统结构图如下：

由控制工程笔记：控制系统的数学模型中开环传递函数定义，可知开环传递函数：

\[\frac{B(s)}{E(s)} = G(s)H(s) \tag{50} \]

将\(G(s)H(s)\)写成典型环节串联形式：

\[G(s)H(s) = \frac{K(\tau_1 s + 1)\cdots(\tau_2^2 s^2 + 2\xi\tau_2 s + 1)\cdots}{s^\nu(T_1 s + 1)\cdots(T_2^2 s^2 + 2\zeta T_2 s + 1)\cdots} = \frac{KN_0(s)}{s^\nu D_0(s)} \tag{51} \]

其中，K为开环增益，v积分环节数目，且，

\[N_0(s)=(\tau_1 s + 1)\cdots(\tau_2^2 s^2 + 2\xi\tau_2 s + 1)\cdots, \\ D_0(s)=(T_1 s + 1)\cdots(T_2^2 s^2 + 2\zeta T_2 s + 1)\cdots \\ \lim\limits_{s\to 0}N_0(s)=1\\ \lim\limits_{s\to 0}D_0(s)=1 \]

注意：典型环节主要包括比例环节、积分环节、惯性环节、一阶微分、二阶振荡、二阶微分等，参考自动控制：自动控制系统数学模型

由(46)(48)可知，

\[\begin{aligned} E(s)=E_R(s)&=\Phi_{ER}(s)\cdot R(s) \\ &= \frac{1}{1+G(s)H(s)}R(s) \\ &= \frac{s^vD_0(s)}{s^vD_0(s) + KN_0(s)}R(s) \\ sE(s) &= \frac{s^{v+1}D_0(s)}{s^vD_0(s) + KN_0(s)}R(s) \end{aligned} \tag{52} \]

当\(sE(s)\)极点全在s平面的左半边时，可用终值定理求出\(e_{ss}\)：

\[e_{ss}=\lim\limits_{s\to 0}sE(s) = \lim\limits_{s\to 0}\frac{s^{v+1}D_0(s)}{s^vD_0(s) + KN_0(s)}R(s) \tag{53} \]

该式表明，系统稳态误差\(e_{ss}\)与外作用\(R(s)\)，开环增益K，积分环节数目\(v\)有关.

注：该系统对应的特征方程，为传递函数分母多项式为0，即\(s^vD_0(s) + KN_0(s)=0\)

下面讨论不同幂函数（时域表达式都是t的整数次幂（如0、1、次），其拉氏变换的分母就是s的幂次\(s^1,s^2,s^3\)）输入作用下，稳态误差和系统结构、参数的关系.

阶跃信号作用下

输入信号为阶跃作用\(r(t)=r_0*1(t)\)时（\(r_0\)表示阶跃量大小的常数），则

\[R(s)=\frac{r_0}{s} \tag{54} \]

由(53)，

\[\begin{aligned} e_{ss} &= \lim\limits_{s\to 0}\frac{s^{v+1}D_0(s)}{s^vD_0(s) + KN_0(s)}R(s) \\ &= \lim\limits_{s\to 0}\frac{s^{v+1}D_0(s)}{s^vD_0(s) + KN_0(s)}\cdot \frac{r_0}{s} \\ &= \lim\limits_{s\to 0}\frac{s^{v}D_0(s)}{s^vD_0(s) + KN_0(s)}\cdot r_0 \end{aligned} \tag{55} \]

所以，

\[e_{ss} = \begin{cases} \dfrac{\lim\limits_{s\to 0}D_0(s)}{\lim\limits_{s\to 0}D_0(s)+K\lim\limits_{s\to 0}N_0(s)}=\dfrac{1}{1+K}, & v = 0\\ \dfrac{0}{0+K\cdot 1}r_0=0, & v\ge 1 \end{cases} \tag{56} \]

这表明，在阶跃输入作用下，系统消除稳态误差的条件是\(v\ge 1\)（\(v\)代表积分环节数目），即在开环传递函数\(G(s)H(s)\)中至少一个积分环节.

斜坡信号作用下

斜坡信号\(r(t)=V_0t*t(1)\)时（\(V_0\) 输入信号的速度），则

\[R(s)=\frac{V_0}{s^2} \tag{57} \]

由(53)，

\[\begin{aligned} e_{ss} &= \lim\limits_{s\to 0}\frac{s^{v+1}D_0(s)}{s^vD_0(s) + KN_0(s)}R(s) \\ &= \lim\limits_{s\to 0}\frac{s^{v+1}D_0(s)}{s^vD_0(s) + KN_0(s)}\cdot \frac{V_0} {s^2}\\ &= \lim\limits_{s\to 0}\frac{s^{v-1}D_0(s)}{s^vD_0(s) + KN_0(s)}\cdot V_0 \end{aligned} \tag{58} \]

所以，

\[e_{ss} = \begin{cases} 极限不存在, & v=0\\ \dfrac{V_0}{K}, &v=1\\ 0, &v\ge 2 \end{cases} \tag{59} \]

这表明，在斜坡输入作用下，系统消除稳态误差条件是\(v\ge 2\)，即在开环传递函数\(G(s)H(s)\)中至少2个积分环节.

等加速信号作用下

等加速信号 \(r(t) = \frac{1}{2}a_0t^2\cdot 1(t)\)（其中，\(a_0\)加速度）时，则

\[\begin{aligned} e_{ss} &= \lim\limits_{s\to 0}\frac{s^{v+1}D_0(s)}{s^vD_0(s) + KN_0(s)}R(s) \\ &= \lim\limits_{s\to 0}\frac{s^{v+1}D_0(s)}{s^vD_0(s) + KN_0(s)}\cdot \frac{a_0} {s^3}\\ &= \lim\limits_{s\to 0}\frac{s^{v-2}D_0(s)}{s^vD_0(s) + KN_0(s)}\cdot a_0 \end{aligned} \tag{60} \]

所以，

\[e_{ss} = \begin{cases} \dfrac{a_0}{K}, & v=2\\ 0, & v\ge 3 \end{cases} \tag{61} \]

这表明，在等加速输入作用下，系统消除稳态误差条件是\(v\ge 3\)，即开环传递函数\(G(s)H(s)\)至少3个积分环节.

而当\(v=0,1\)时，\(\lim\limits_{t\to \infty}e(t)=\infty\)，即系统不稳定，误差\(e(t)\)随着时间t增大而无限增大.

综上，要消除系统在幂函数输入信号作用下稳态误差，则可增加积分环节数目v；要减小系统稳态误差，则可提高开环增益K，

0型系统、1型系统、2型系统划分：

通常，\(v=0\)的系统，称为0型系统. 特点：对阶跃输入的稳态误差\(e_{ss}\)为常数值，对斜坡、等加速输入的为\(\infty\)；

\(v=1\)的系统，称为Ⅰ型系统. 特点：对阶跃输入的\(e_{ss}\)为0，对斜坡输入的为常数值，对等加速输入的为\(\infty\)；

\(v=2\)的系统，称为Ⅱ型系统. 特点：对阶跃、斜坡输入的\(e_{ss}\)为0，对等加速输入的为常数值；

以此类推，\(v=3\)的系统，称为Ⅲ型系统, etc. 高于\(v=2\)的系统，对稳定性不利，所以很少使用.

系统型别越高，跟踪幂函数输入信号的无差能力越强. 系统型别，反映了系统对输入信号的无差的度量，也称为无差度.

参考

[1] 程鹏. 自动控制原理[M]. 高等教育出版. 2002.

[2] 同济大学数学系. 高等数学 (第六版上册)[M]. 高等教育出版社，2007

posted @ 2026-08-17 22:56 明明1109 阅读(11) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部

明明1109