建立控制系统微分方程
整个系统输出变量与输入变量之间关系的动态关系式，是微分方程.
一般步骤：
- 分析系统和各元件工作原理，找出各物理量（变量）之间关系，确定系统和各元件的输入、输出变量.
- 从输入端开始，按信号传递顺序，根据各变量所遵循的物理（化学）定律，列出动态关系式，一般为一个微分方程.
- 对已建立的原始方程数学处理，忽略次要因素，简化原始方程，如线性化等.
- 消除中间变量，写出输出、输入变量之间关系的数学表达式，即微分方程.
例如，RLC无源网络如下图，R、L、C分别为电阻（Ω）、电感（H）、电容（F）；建立输入电压\(u_r(V)\)和输出电压\(u_c(V)\)之间动态方程.
解：
由基尔霍夫定律，
\[\begin{cases}
u_{r}(t) = Ri(t) + L \dfrac{di(t)}{dt} + \dfrac{1}{C}\int i(t)dt \\[6pt]
u_{C}(t) = \dfrac{1}{C}\int i(t)dt
\end{cases}
\]
消去中间变量i(t)，
\[u_{r}(t) = LC \dfrac{d^2 u_{C}(t)}{dt^2} + RC \dfrac{du_{C}(t)}{dt} + u_{C}(t)
\]
令 \(LC=T^2,\ RC=2\zeta T\) 则上式又可以写成如下形式
\[T^2 \dfrac{d^2 u_C(t)}{dt^2} + 2\zeta T \dfrac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = u_r(t)
\]
式中，T时间常数(秒)，ζ（zeta）阻尼系数（无量纲）.
非线性微分方程的线性化
实际工程在，输入、输出变量之间具有不同程度的非线性关系，建立的动态方程就是非线性微分方程. 高阶非线性微分方程的解，只能借助计算机，没有一般形式的解.
为方便分析问题，通常对非线性作如下处理：
- 对若非线性的线性化
如图(a)，输入信号很小，忽略非线性影响，近似为放大特性；如图(b)(c)，死区/间隙很小（相对输入信号而言），忽略其影响，近似认为放大，如图虚线.
- 平衡位置附近的小偏差线性化
输入、输出变量y=f(x)有如下图所示非线性特性.
考虑到系统经常工作在平衡点A(x0,y0)，当系统受到扰动后，y只在A点附近变化，此时系统在A点的输出、输入关系函数可展开为泰勒级数：
\[y=f(x)=f(x_0)+\left.\frac{df}{dx}\right|_{x_0} \Delta x + \frac{1}{2!}\left.\frac{d^2 f}{dx^2}\right|_{x_0} \Delta x^2 + \cdots\cdots \tag{23}
\]
式中 \(\Delta x = x - x_0\)，当 \(\Delta x\) 很小时，式(23)中 \(\Delta x^2\) 及高于 \(\Delta x^2\) 的项可以忽略，则得
\[y=f(x)=f(x_0)+\left.\frac{df}{dx}\right|_{x_0} \Delta x \tag{24}
\]
记 \(\Delta y = f(x)-f(x_0)\)，由式(24)可得
\[\Delta y = \left.\frac{df}{dx}\right|_{x_0} \Delta x \tag{25}
\]
式中：\(\left.\frac{df}{dx}\right|_{x_0}\) 为 \(\frac{df(x)}{dx}\) 在 \(A\) 点处的值，代表 \(f(x)\) 在点 \(A\) 斜率. 令
\[\left.\frac{df}{dx}\right|_{x_0} = k
\]
则在 \(x_0\) 附近输出、输入的增量之间满足如下关系
\[\Delta y = k\Delta x \tag{26}
\]
(26)就是f(x)在A点切线方程，我们用线性的切线方程，代替了曲线（非线性）的方程 y=f(x) —— 小偏差线性化的几何意义.
因为我们关心动态变量\(\Delta y,\Delta x\)关系，为书写方便，写成：
\[y=kx \tag{27}
\]
凡事可以线性化的系统，都能用线性控制理论分析. 经线性化处理后，线性定常系统动态方程一般形式：
\[\begin{aligned}
a_0 \frac{d^n c(t)}{dt^n} + a_1 \frac{d^{n-1} c(t)}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{n-1} \frac{dc(t)}{dt} + a_n c(t) \\
= b_0 \frac{d^m r(t)}{dt^m} + b_1 \frac{d^{m-1} r(t)}{dt^{m-1}} + \cdots + b_{m-1} \frac{dr(t)}{dt} + b_m r(t)
\end{aligned} \tag{32}
\]
其中，\(a_i\ (i=1,2,\cdots,n)\)、\(b_j\ (j=1,2,\cdots,m)\) 为与系统结构及参数有关的常数，\(c(t)\)、\(r(t)\) 分别为输出、输入变量.
线性系统，能用叠加原理来分析系统.
叠加原理2重含义：可叠加性，均匀性（或齐次性）. 举例说明.
设线性微分方程：
\[\frac{d^2 c(t)}{dt^2} + \frac{dc(t)}{dt} + c(t) = r(t)
\]
若 \(r(t)=r_1(t)\) 时，方程有解 \(c_1(t)\)；\(r(t)=r_2(t)\) 时，方程有解 \(c_2(t)\)，那么
\[\begin{cases}
\frac{d^2 c_1(t)}{dt^2} + \frac{dc_1(t)}{dt} + c_1(t) = r_1(t)\\
\frac{d^2 c_2(t)}{dt^2} + \frac{dc_2(t)}{dt} + c_2(t) = r_2(t)
\end{cases}
\]
显然，当 \(r(t)=r_1(t)+r_2(t)\) 时，必存在微分方程的解为 \(c(t)=c_1(t)+c_2(t)\)，将上面二式相加就可证明，这就是可叠加性. 若 \(r(t)=a r_1(t)\) 时，\(a\) 为实数，则方程的解为 \(c(t)=a c_1(t)\)，这就是均匀性.
i.e. 2个外作用同时加于系统产生的响应，等于各个外作用单独作用之和；外作用增加若干倍，系统响应也增加同样倍数.
传递函数
微分方程是在时域分析系统时的模型，提供了分析问题的全部信息.
优点：方法直观，解算迅速、准确.
缺点：研究系统结构或参数变化对输出影响时，要重新解微分方程，不方便，也难得出规律结论.
于是，有人提出另一种数学模型：传递函数，用拉普拉斯变换方法求解微分方程过程中引出来的复域中的数学模型，能间接反映结构、参数变化时对系统输出的影响.
传递函数概念
例如，无源RC网络微分方程：
\[T \frac{du_c(t)}{dt} + u_c(t) = u_r(t)
\]
设输入信号 \(u_r(t)=u_{r0}\cdot 1(t)\)，初始条件 \(u_c(0)=u_{c0}\)，则用拉氏变换方法求解上述微分方程
两边同时进行拉氏变换
\[\mathcal{L}[T \frac{du_c(t)}{dt} + u_c(t)]=\mathcal{L}[u_r(t)]\\
\]
利用拉式变换线性性质，
\[\mathcal{L}[T \frac{du_c(t)}{dt}] + \mathcal{L}[u_c(t)]=\mathcal{L}[u_r(t)]\\
\therefore T\mathcal{L}[\frac{du_c(t)}{dt}] + \mathcal{L}[u_c(t)]=\mathcal{L}[u_r(t)]
\]
设\(U_c(s), U_r(s)\)分别为\(u_c(s),u_r(s)\)的拉式变换，即\(U_c(s)=\mathcal{L}[u_c(s)],U_r(s)=\mathcal{L}[u_r(s)]\)
由拉普拉斯变换的微分性质（参见拉普拉斯变换），知
\[\mathcal{L}\big[\frac{du_c}{dt}\big] = sU_c(s) - u_{c0}
\]
代入可得，
\[T[sU_c(s) - u_{c0}] + U_c(s) = U_r(s)\\
\therefore
U_c(s) = \frac{1}{Ts+1}U_r(s) + \frac{T}{Ts+1}u_{c0}
\]
单位阶跃函数 \(u_r(t)=u_{r0}\cdot 1(t)\)：
\[1(t)=
\begin{cases}
0,t < 0 \\
1, t\ge 0
\end{cases}
\]
\[\begin{aligned}
U_r(s) &=\mathcal{L}[u_r(t)]=\int_0^\infty[u_{r0}\cdot 1(t)]e^{-st}dt \\
&= u_{r0}\int_0^\infty e^{-st}dt\\
&= u_{r0}\big[ -\frac{1}{s}e^{-st} \big]_0^{\infty}\\
&= \frac{u_{r0}}{s}
\end{aligned}
\]
代入\(U_c(s)\)方程可得，
\[U_c(s) = \frac{1}{Ts+1}\cdot \frac{u_{r0}}{s} + \frac{T}{Ts+1}u_{c0}\\
=\frac{u_{r0}}{s(Ts+1)}+\frac{Tu_{c0}}{Ts+1}
\]
先看\(\frac{1}{s(Ts+1)}\) 如何分解：
设
\[\frac{1}{s(Ts+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{Ts+1}
\]
有
\[1 = A(Ts+1)+Bs = (AT+B)s + A
\]
比较系数，可得，
\[A=1,B=-T
\]
所以，
\[\frac{1}{s(Ts+1)} = = \frac{1}{s} - \frac{T}{Ts+1} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s + \frac{1}{T}}
\]
所以，
\[\frac{u_{r0}}{s(Ts+1)} = u_{r0}\big(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}} \big)\\
\frac{Tu_{c0}}{Ts+1} = \frac{u_{c0}}{s+\frac{1}{T}}\\
\therefore U_c(s) = \frac{u_{r0}}{s(Ts+1)} + \frac{Tu_{c0}}{Ts+1} = \frac{u_{r0}}{s} - \frac{u_{r0}}{s+\frac{1}{T}} + \frac{u_{c0}}{s+\frac{1}{T}}
\]
拉氏反变换（查表）（参见拉普拉斯变换）
| 像函数 |
原函数 |
| \(\frac{1}{s}\) |
\(1(t)\) |
| \(\frac{1}{s+a}\) |
\(e^{-at}\) |
这里的 \(a = \frac{1}{T}\).
接着，对\(U_c(s)\)表达式两边 做反拉普拉斯变换：
\[\begin{aligned}
U_c(s) &= \frac{u_{r0}}{s} - \frac{u_{r0}}{s+\frac{1}{T}} + \frac{u_{c0}}{s+\frac{1}{T}}
\\ \xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}}
u_c(t) &= u_{r0} - u_{r0} e^{-t/T} + u_{c0} e^{-t/T}\\
&= u_{r0}(1 - e^{-t/T}) + u_{c0} e^{-t/T}
\end{aligned} \tag{33}
\]
令初始条件为0，即\(u_c(0) = u_{c0}=0\)，(33)两式变成：
\[U_c(s) = \frac{1}{Ts+1} U_r(s) \tag{34}
\]
\[u_c(t) = u_{r0}(1 - e^{-t/T}) \tag{35}
\]
输入\(u_{r}(t)\)给定时，\(U_r(s)\)是确定的，由(34)知，\(U_c(s)\)完全由\(1/(Ts+1)\)确定. 于是，称 \(\frac{1}{Ts+1}\) 为RC无源网络的传递函数.
传递函数表示为
\[G(s) = \frac{U_c(s)}{U_r(s)} = \frac{1}{Ts+1} \tag{36}
\]
用下图来表示它们的传递运算关系：
传递函数定义
上面用拉式变换求解RC无源网络的微分方程，令初始条件为零，引出传递函数. 这对一般情况也适用.
设任一系统或元件的微分方程：
\[a_0 \frac{d^n}{dt^n}c(t) + a_1 \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}c(t) + \cdots + a_{n-1}\frac{d}{dt}c(t) + a_n c(t)
\]
\[= b_0 \frac{d^m}{dt^m}r(t) + b_1 \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}r(t) + \cdots + b_{m-1}\frac{d}{dt}r(t) + b_m r(t) \tag{38}
\]
式中：\(c(t)\) 为系统输出，\(r(t)\) 为系统输入，\(a_0, a_1, \cdots, a_n, b_0, b_1, \cdots, b_m\) 为与系统或元件结构、参数有关的常系数。
在初始条件为零时，对式 \((38)\) 两端进行拉氏变换，则
\[(a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1}s + a_n)C(s)
\]
\[= (b_0 s^m + b_1 s^{m-1} + \cdots + b_{m-1}s + b_m)R(s) \tag{39}
\]
证明：
关键前提条件：零初始条件，即\(c(0)=c'(0)=c''(0)=...=c^{(n-1)}(0)=0\)
由拉普拉斯变换的k阶微分性质可知，
\[\begin{aligned}
\mathcal{L} \left[ \frac{d^k c(t)}{dt^k} \right] &= s^k C(s) - s^{k-1}f(0) - s^{k-2}f'(0) - \dots - s^0f^{(k-1)}(0)\\
&\xlongequal{\text{零初始条件}} s^kC(s)
\end{aligned}
\]
对(38)两边做拉普拉斯变换，再由拉普拉斯变换的线性性质知，
\[\begin{aligned}
左边 &= \mathcal{L} \left[ a_0 \frac{d^n}{dt^n}c(t) + a_1 \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}c(t) + \cdots + a_{n-1}\frac{d}{dt}c(t) + a_n c(t) \right]\\
&= \mathcal{L} \left[ a_0 \frac{d^n}{dt^n}c(t) \right] + \mathcal{L} \left[ a_1 \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}c(t) \right] + \dots + \mathcal{L} \left[ a_{n-1}\frac{d}{dt}c(t) \right] + \mathcal{L} \left[ a_n c(t) \right]\\
&= a_0s^nC(s) + a_1s^{n-1}C(s) + \dots + a_{n-1}s^1C(s) + a_{n}C(s)\\
&= (a_0s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_{n-1}s+ + a_n)C(s)
\end{aligned}
\]
同理，
\[右边 = (b_0 s^m + b_1 s^{m-1} + \cdots + b_{m-1}s + b_m)R(s)
\]
左边，右边来自(38)左右两边同时做拉普拉斯变换，所以，左边 = 右边，即
\[(a_0s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_{n-1}s+ + a_n)C(s) = (b_0 s^m + b_1 s^{m-1} + \cdots + b_{m-1}s + b_m)R(s)
\]
证毕.
如果仿照RC网络传递函数，写成传递函数形式：
\[\frac{C(s)}{R(s)} = G(s) = \frac{b_0 s^m + b_1 s^{m-1} + \cdots + b_{m-1} s + b_m}{a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1} s + a_n} = \frac{M(s)}{N(s)} \quad \tag{40}
\]
其中，
\[\begin{aligned}
M(s) &= b_0 s^m + b_1 s^{m-1} + \cdots + b_{m-1} s + b_m \\
N(s) &= a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1} s + a_n
\end{aligned}
\]
传递函数定义如下：
线性定常系统（或元件）的传递函数为在零初始条件下，系统（或元件）的输出变量拉式变换与输入变量拉式变换之比.
零初始条件含义：
- 输入作用在 t=0 后才加于系统，输入量及其各阶导数，在\(t=0^{-}\)时值皆为0；
- 输入信号作用系统之前，系统是静止的，即\(t=0^{-}\)时，系统输出量及其各阶导数均为0.
传递函数几个要点
- 传递函数是线性定常系统的一种输入、输出描述，可作为线性定常系统的一种动态数学模型；
- 传递函数只取决于系统（或元件）的结构、参数，与外界输入无关；
- 传递函数是关于复变量s的有理真分式，其分子、分母阶次关系：\(n\ge m\). 因为任一实际物理元件或系统的能源有限，而且都有惯性.
- 确定的传递函数有一定的零、极点分布图对应. 能将传递函数写成如下形式：
\[G(s) = \frac{M(s)}{D(s)} = \frac{K(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)} \quad \tag{41}
\]
其中， \(z_1,z_2,...,z_m\)是传递函数分子多项式\(M(s)\)为0时的根，称为传递函数的零点；\(p_1,p_2,...,p_n\)是\(D(s)\)为0的根，称为传递函数的极点.
零点、极点分别用符号“0”、“\(×\)”表示在复平面上的图形，称为传递函数零点、极点分布图，如下图所示：
- 传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为
\[C(s)=G(s)\cdot R(s) \tag{42}
\]
其中，\(C(s)\) 系统输出，\(G(s)\)传递函数，\(R(s)\)系统输入.
当\(r(t)=δ(t)\) 时（\(δ(t)\)是单位脉冲函数），\(R(s)=1\)
\[δ(t) = \begin{cases}
\infty, &t=0\\
0, &t\neq 0
\end{cases} 且\int_{-\infty}^{+\infty}δ(t)\cdot f(t)dt = f(0)
\]
可以将\(δ(t)\) 看成"高而窄"的矩形脉冲：
\[δ_ϵ(t) = \begin{cases}
\frac{1}{ϵ}, & 0 \le t < ϵ\\
0, &其他
\end{cases}
\]
所以，$$\int_{-\infty}^{+\infty}δ_ϵ(t)f(t)dt = \int_{0}^ϵ \frac{1}{ϵ}f(t)dt = \frac{1}{ϵ}f(0)\cdot ϵ =f(0)$$
令\(f(t) = e^{-st}\)，则
\[\begin{aligned}
R(s) &= \mathcal{L}\left[ r(t)\right] = \int_{0^{-}}^{\infty} r(t)e^{-st}dt\\
&= ∫_{0^-}^{∞} δ(t)·e^{-st} dt\\
&= e^{-s·0}\\
&= e^0 = 1
\end{aligned}
\]
所以，
\[\begin{aligned}
c(t) &= L^{-1}[C(s)]\\
&= L^{-1}[G(s)\cdot R(s)] \\
&= L^{-1}[G(s)]
\end{aligned}
\]
系统的输出\(c(t)\)是通用名称，针对输入为\(δ(t)\)（单位脉冲函数）时，其输出\(c(t)\)专门称为脉冲响应函数，记作\(k(t)\).
\[k(t)≜c(t)=L^{-1}[G(s)]
\]
下图展示了输入是\(δ(t)\)时，系统的输出：
- 传递函数描述有一定局限，只能研究单入、单出系统，对于多入、多出系统要用传递矩阵表示.
典型环节
一个系统由若干元部件组成，每个元部件的传递函数可以是一个典型环节，也可以包括几个；一个典型环节，也可由多个部件或者一个传递函数形成.
一个系统的传递函数可分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称作典型环节. 几种常见形式：
① 比例环节，传递函数为
\[G(s) = K \tag{57}
\]
② 积分环节，传递函数为
\[G(s) = \frac{1}{s} \tag{58}
\]
③ 微分环节，传递函数为
\[G(s) = s \tag{59}
\]
④ 惯性环节，传递函数为
\[G(s) = \frac{1}{Ts+1} \tag{60}
\]
式中：\(T\) 为时间常数。
⑤ 一阶微分环节，传递函数为
\[G(s) = \tau s + 1 \tag{61}
\]
式中：\(\tau\) 为时间常数。
⑥ 二阶振荡环节，传递函数为
\[G(s) = \frac{1}{T^2 s^2 + 2\zeta T s + 1} \tag{62}
\]
式中：\(T\) 为时间常数，\(\zeta\) 为阻尼系数。
⑦ 二阶微分环节，传递函数为
\[G(s) = \tau^2 s^2 + 2\zeta \tau s + 1 \tag{63}
\]
式中：\(\tau\) 为时间常数，\(\zeta\) 为阻尼系数。
此外，在机、电、液系统中还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间为 \(\tau\)，环节的传递函数为
\[G(s) = \mathrm{e}^{-\tau s} \tag{64}
\]
动态结构图
动态结构图：表示组成控制系统的各个元件之间的信号传递动态关系的图形. 系统中，每个元件用一个或几个方框图表示，然后，根据信号传递先后顺序用信号线按一定方式连接起来，就构成了系统的动态结构图.
4种基本单元：
- 信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向，信号线标注信号原函数/象函数；
- 方框：方框内标注元部件传递函数；
- 引出点（测量点）：信号引出或测量位置，从同一点引出的信号完全相同；
- 综合点（比较点）：对2个以上信号进行加减运算，“+”相加，“-”相减.
几种基本的结构图等效变换法则：
梅森公式求传递函数
结构图变换求复杂系统的传递函数很繁琐，但用梅森公式（S.J.Mason）的方法就很简单，不需要任何结构图变换，只需要对结构图观察、分析即可.
梅森公式一般形式：
\[G(s) = \frac{\sum_{k=1}^{n} P_k \Delta_k}{\Delta} \quad (82)
\]
其中，
\(G(s)\) ——待求的传递函数；
\(\Delta\) ——特征式，且 \(\Delta = 1 - \sum L_i + \sum L_i L_j - \sum L_i L_j L_k \cdots\)；
\(P_k\) ——从输入端到输出端第 \(k\) 条前向通道的总传递函数；
\(\Delta_k\) ——在特征式 \(\Delta\) 中，将其与第 \(k\) 条前向通道接触的回路所在项除去后余下部分. 并称为余子式；
\(\sum L_i\) ——所有各回路的"回路传递函数"之和；
\(\sum L_i L_j\) ——两两互不接触的回路，其"回路传递函数"乘积之和；
\(\sum L_i L_j L_k\) ——所有三个互不接触的回路，其"回路传递函数"乘积之和.
例子：用梅森公式求如下图所示多回路系统的传递函数C(s)/R(s).
解：如图，有4个独立回路，那么
\[\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{4} L_i &= L_1 + L_2 + L_3 + L_4 \\
&= -G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)G_6(s)H_1(s) - G_2(s)G_3(s)H_2(s) - G_5(s)G_6(s)H_3(s) - G_3(s)G_4(s)H_4(s)
\end{aligned}
\]
4个独立回路中，Ⅱ、Ⅲ回路互不接触，所以，
\[\begin{aligned}
\sum L_i L_j &= L_2 L_3 \\
&= (-G_2(s)G_3(s)H_2(s))(-G_4(s)G_5(s)H_3(s)) \\
&= G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)H_2(s)H_3(s)
\end{aligned}
\]
不存在3个互不接触的回路，所以，
\[\sum L_i L_j L_k = 0
\]
于是，可求出特征方程：
\[\begin{aligned}
\Delta = 1 &- \sum L_i + \sum L_i L_j\\
= 1 &+ G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)G_6(s)H_1(s) + G_2(s)G_3(s)H_2(s)\\
&+ G_4(s)G_5(s)H_3(s) + G_3(s)G_4(s)H_4(s) \\
&+ G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)H_2(s)H_3(s)
\end{aligned}
\]
结构图中，从输入R到输出C，只有一条前向通路，则
\[K=1, \quad P_1 = G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)G_6(s)
\]
4个回路与这一条前向通道都分别有同一信号通过，因此，都有接触，所以，
\[\Delta_1 = 1
\]
\[\begin{aligned}
G(s) &= \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{P_1 \Delta_1}{\Delta}\\
&= \frac{G_1 G_2 G_3 G_4 G_5 G_6}{1 + G_1 G_2 G_3 G_4 G_5 G_6 H_1 + G_2 G_3 H_2 + G_4 G_5 H_3 + G_3 G_4 H_4 + G_2 G_3 G_4 G_5 H_2 H_3}
\end{aligned}
\]
系统脉冲响应函数
分析系统的动态过程，常使用和时间有直接关系的脉冲过渡函数的概念和方法，也可称为系统（或元件）的数学模型.
脉冲过渡函数：系统对单位脉冲函数\(δ(t)\)输入的响应，用\(k(t)\)表示，如下图
设系统传递函数\(\Phi (s)\)，而
\[\mathcal{L}[δ(t)] = 1, \mathcal{L}[k(t)] = K(s)
\]
证明见式(42)对应小节.
所以，
\[\Phi(s) = \frac{K(s)}{1} = K(s) \tag{83}
\]
\[k(t) = \mathcal{L}^{-1}[K(s)] = \mathcal{L}^{-1}[\Phi (s)] \tag{84}
\]
由(84)知，系统（或元件）的传递函数的拉氏反变换 = 它的脉冲响应，即脉冲过渡函数.
对于任意输入信号\(r(t)\)，系统输出\(c(t)\)，则
\[\tag{85}
C(s) = \Phi (s) \cdot R(s) = K(s)\cdot R(s)
\]
记住一点：传递函数取决于系统结构，与系统输入无关. 见前面 传递函数几个要点 小节）. 因此，前面通过单位脉冲函数\(δ(t)\)及其响应\(k(t)\)，求的传递函数 \(\Phi (s)\)，也可以在此使用.
由拉式变换卷积定理（参见拉普拉斯变换），知：
\[\begin{aligned}
K(s)\cdot R(s) &= \int_0^t k(t-τ)r(τ)dt\\
\therefore
c(t) = \mathcal{L}^{-1}[C(s)] &= \mathcal{L}^{-1}[K(s)\cdot R(s)] = \int_0^t k(t-τ)r(τ)dτ\\
\end{aligned} \tag{86}
\]
这是时域分析重要公式，表面对于线性系统，只要知道其脉冲过渡函数\(k(t)\)，就能算出系统传递函数\(\Phi (s)\)，进而算出任意输入信号\(r(t)\)的时间响应过程\(c(t)\).
下面用线性系统的叠加原理，来说明(86)的物理含义. 设有任意信号\(r(t)\)，如下图（a），将\(r(t)\)分解为一系列宽\(\Delta t\)的相邻局限脉冲. 在\(t=n\Delta t\)时刻，脉冲高度\(r(n\Delta t)\)，而脉冲强度即矩形面积\(r(n\cdot \Delta t)\Delta t\)，
\(\delta (t-n\Delta t)\)是发生在\(t=n\Delta t\)时刻的理想单位脉冲. 如果系统的脉冲过渡函数为\(k(t)\)，那么传递函数\(\Phi (s) = K(s) / 1 = K(s)\).
根据叠加原理，矩形脉冲引起的系统输出：
\[\tag{88}
r(n\cdot \Delta t)\Delta t \cdot \Delta k(t-n\Delta t)
\]
如上图(b). \(n\Delta t\) 脉冲作用于系统的时刻，t观察时刻. 当\(t\le n\Delta t\)时，应该有\(k(t-n\Delta t) = 0\)
所以，系统在\(r(t)\)作用下的输出响应，等于所有脉冲作用响应的总和：
\[\tag{89}
c(t) = \sum_{n\Delta = 0}^tr(n\Delta t)\cdot k(t-n\Delta t)\cdot \Delta t
\]
当\(\Delta t \to 0\)时，记\(\Delta t = dτ, n\Delta t = τ\)，式(89)可写为：
\[c(t) = \int_0^tr(τ)k(t-τ)dτ
\]
当系统输入为单位阶跃信号，即\(r(t) = 1(t)\)时，系统的时间响应为单位阶跃响应，记作\(h(t)\).
由(86)，
\[\tag{90}
h(t) = \int_0^{t}1(τ)k(t-τ)dτ = \int_0^{t}k(τ)dτ
\]
系统的脉冲响应，唯一确定单位阶跃响应；反之亦然，
\[\tag{91}
k(t) = \frac{dh(t)}{dt}
\]
典型反馈系统的几种传递函数
这部分演示如何求解典型系统的传递函数，包括：开环传递函数，闭环传递函数，干扰信号下的闭环传递函数，闭环系统的误差传递函数.
一个典型的反馈控制系统的结构：
输入信号r(t)作用下的闭环传递函数
此时，令干扰信号\(n(t)=0\)，系统结构如下图.
传递函数：
\[\Phi(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G_1(s)G_2(s)}{1 + G_1(s)G_2(s)H(s)} \quad \tag{92}
\]
求解过程：
Ⅰ、逐个写出每个节点的信号方程：
- 误差信号\(E(s)=R(s)-B(s)\)
- \(G_1输出=G_1(s)\cdot E(s)\)
- \(N_s=0\)，所以\(G_1(s)\)输出直接进入\(G_2(s)\)，得到系统输出\(C(s)\)，\(C(s)=G_2\cdot G_1输出 = G_1(s)G_2(s)E(s)\)
- 反馈通路\(H(s)\)：\(B(s)=H(s)\cdot C(s)\)
Ⅱ、联立方程，求解\(C(s)/R(s)\)（传递函数）
- \(E(s)=R(s)-B(s)\)代入\(C(s)\)表达式：
\[C(s)=G_1G_2(R-B)
\]
- \(B(s)=H(s)\cdot C(s)\)代入：
\[C(s) = G_1G_2(R - HC) = G_1G_2R - G_1G_2HC
\]
- 求出传递函数：
\[\Phi (s) = \frac{G_1(s)G_2(s)}{1 + G_1(s)G_2(s)H(s)}
\]
这就是系统在\(r(t)\)作用下的闭环传递函数.
\(G_1(s)G_2(s)H(s)\) 称为系统的开环传递函数，指当主反馈回路断开时，反馈信号\(B(s)\)与输入信号之间的传递函数.
系统输出的拉式变换：
\[C(s) = \Phi(s)R(s) = \frac{G_1(s)G_2(s)}{1 + G_1(s)G_2(s)H(s)} R(s) \quad \tag{93}
\]
干扰信号n(t)作用下的系统闭环传递函数
令输入信号 \(r(t)=0\)，系统结构如下图.
此时，传递函数：
\[\Phi_n(s) = \frac{C(s)}{N(s)} = \frac{G_2(s)}{1 + G_1(s)G_2(s)H(s)} \quad \tag{94}
\]
干扰\(r(t)=0\)作用下的系统输出的拉式变换：
\[C(s) = \Phi_n(s)N(s) = \frac{G_2(s)}{1 + G_1(s)G_2(s)H(s)} N(s) \quad \tag{95}
\]
根据叠加原理，系统在\(r(t),n(t)\)同时作用下的总输出：
\[C_\Sigma(s) = \frac{G_1(s)G_2(s)}{1 + G_1(s)G_2(s)H(s)} R(s) + \frac{G_2(s)}{1 + G_1(s)G_2(s)H(s)} N(s) \quad \tag{96}
\]
在(96)基础上，如果满足条件 \(|G_1(s)G_2(s)H(s)| \gg 1, \quad |G_1(s)H(s)| \gg 1\)，那么
\[C_\Sigma(s) \approx \frac{1}{H(s)} R(s) \quad \tag{97}
\]
也就是说，此时系统具有极强的抗干扰能力，即干扰信号对输出影响很小；系统的输出，主要取决于反馈通路的传递函数、输入信号.
当\(H(s)=1\)时（单位负反馈），\(C(s) \approx R(s)\)，系统几乎实现了对输入信号的完全复现.
这就是说，只要根据上述条件选择适当元件参数，就能使干扰影响最小.
闭环系统的误差传递函数
反馈控制系统工作原理是以偏差进行控制，我们也需要知道系统误差信号的变化规律.
规定系统误差：
\[e(t) = r(t) - b(t) \tag{98}
\]
\[E(s) = R(s) - B(s) \tag{99}
\]
- 输入信号\(r(t)\)作用于系统
此时，令\(n(t)=0\)，结构图如下：
误差传递函数：
\[\Phi_{er}(s) = \frac{E(s)}{R(s)} = \frac{1}{1 + G_1(s)G_2(s)H(s)} \tag{100}
\]
- 干扰\(n(t)\)作用于系统
令\(r(t)=0\)，结构图如下：
误差传递函数：
\[\Phi_{en}(s) = \frac{E(s)}{N(s)} = \frac{-G_2(s)H(s)}{1 + G_1(s)G_2(s)H(s)} \tag{101}
\]
- \(r(t),n(t)\)同时作用于系统
\[E_\Sigma(s) = \frac{1}{1 + G_1(s)G_2(s)H(s)} R(s) + \frac{-G_2(s)H(s)}{1 + G_1(s)G_2(s)H(s)} N(s) \tag{102}
\]
如果\(|G_1(s)G_2(s)H(s)| \gg 1, |G_1(s)| \gg 1\)，那么
\[E_\Sigma(s) \approx 0
\]
参考
程鹏. 自动控制原理[M].高等教育出版.2002.
浙公网安备 33010602011771号