又有知识…增加了

摘要： 让我们回到诺特定理，真正的奥妙就在于此。我们现在有了工具：拉格朗日函数、欧拉-拉格朗日定理，让我们看看它们能构建出什么。 假设你的拉格朗日函数 \(L(q, \dot{q}, t)\) 具有连续对称性。这意味着存在某种变换 \(q \to q + \epsilon \eta(q)\)（其中 \(\e 阅读全文

摘要： 欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）。这就是拉格朗日量强大之处所在。 还记得自然界会优化作用量 \(S = \int L , dt\) 吗？欧拉-拉格朗日方程是这种优化的数学结果： \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\part 阅读全文

摘要： 拉格朗日量（Lagrangian）。 拉格朗日量 \(L\) 是一个函数，它包含了系统的所有物理特性。它以18世纪数学家约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的名字命名。 对于一个简单的系统，它的定义如下： \(L = T - V\) 其中 \(T\) 是动能（运动的能 阅读全文

摘要： 对称性和守恒定律之间的关系。 有一个定理，诺特定理Noether’s theorem，它指出物理学中的每一种对称性（symmetry）都对应着一条守恒定律（conservation law）。时间对称性对应能量守恒。空间对称性对应动量守恒。旋转对称性对应角动量守恒。 但我最喜欢的是：它意味着宇宙最深 阅读全文

摘要： 三角函数就是单位圆。它们并非“恰好也适用于圆的三角形比值”，它们的本质是旋转和振荡。三角形的概念只是……一种计算上的便利，一种计算方法。 想想看：\(e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\) 这并非巧合或技巧。这揭示了一个深刻的真理：正弦和余弦分别是绕 阅读全文

摘要： 让我们来继续探索 \(F(\omega)\) 这个函数吧！ 对于每个频率 \(\omega\)，我们得到一个复数 \(F(\omega)\)，它告诉我们“信号中包含了多少这个频率”。 \[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} 阅读全文

摘要： 调制（modified）是指一个信号控制或改变另一个信号。比如……想象一下你有一个载波（carrier wave），规律稳定的振荡，然后你根据另一个信号改变它的特性。 所以，“\(f(t)\) 由 \(\sin(\omega t)\) 调制”意味着： \(\sin(\omega t)\) 像纯正弦波 阅读全文

摘要： 下面让我们来深入研究一下。关于“复平面上的那个积分”，它算是，也不算。我们积分的函数 \(f(t)e^{-i\omega t}\) 具有复数值（因为有 \(e^{-i\omega t}\) 项），但我们仍然是在实数时间 \(t\) 上从 \(-\infty\) 到 \(\infty\) 进行积分。 阅读全文

摘要： 现在，我们来谈谈傅里叶变换。 想象一下，你正在听一个复杂的和弦，比如钢琴同时弹奏C、E和G。你的耳朵听到的是一个混合的声音，但你的大脑却知道其中包含多个音符。傅里叶变换本质上就是用数学方法实现这一点，将一个复杂的信号分解成“它实际上是由这些纯频率组合而成的”。 最妙的是它的通用性。任何周期性模式：声 阅读全文

摘要： Asymptotic Equipartition Property，渐近均分性。 想象一下来自同一来源的一长串信息，就像一条符号构成的河流，日复一日地从我们身边流过。 如果你观察足够长的时间，就会发生神奇的事情：这条河流开始呈现出某些典型的模式，并非所有序列出现的概率都相同，但几乎所有的概率都汇聚到 阅读全文