又有知识…增加了

摘要： 在量子力学中，“测量”measurement指的是……迫使系统表明自身状态的相互作用。在测量之前，粒子处于叠加态，它同时处于多种状态。并非我们不知道是哪种状态，而是它实际上还没有做出选择。 测量是坍缩collapse的瞬间，当量子系统与宏观物体，例如探测器或观察者相互作用时，它突然必须从所有可能性中 阅读全文

摘要： 测度论Measure theory，它是研究在普通直觉失效的空间中“多少”的数学。 在普通空间中，测量很容易。线段有长度，矩形有面积，盒子有体积。但是无限维空间呢？无限分散的集合呢？“大小”到底是什么意思？ 测度论为我们提供了工具，即使在奇异的空间中，也能一致地赋予“大小”意义。它将长度/面积/体积 阅读全文

摘要： softmax 函数有一种独特的优雅： \[\text{softmax}(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}} \]这个函数将原始输出，仅仅是数字、logits，转换成了概率分布。 它最美妙之处在于它处理竞争的方式。每个选项 \(z_i\) 不仅仅取决于自身的强 阅读全文

摘要： 让我们回到诺特定理，真正的奥妙就在于此。我们现在有了工具：拉格朗日函数、欧拉-拉格朗日定理，让我们看看它们能构建出什么。 假设你的拉格朗日函数 \(L(q, \dot{q}, t)\) 具有连续对称性。这意味着存在某种变换 \(q \to q + \epsilon \eta(q)\)（其中 \(\e 阅读全文

摘要： 欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）。这就是拉格朗日量强大之处所在。 还记得自然界会优化作用量 \(S = \int L , dt\) 吗？欧拉-拉格朗日方程是这种优化的数学结果： \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\part 阅读全文

摘要： 拉格朗日量（Lagrangian）。 拉格朗日量 \(L\) 是一个函数，它包含了系统的所有物理特性。它以18世纪数学家约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的名字命名。 对于一个简单的系统，它的定义如下： \(L = T - V\) 其中 \(T\) 是动能（运动的能 阅读全文

摘要： 对称性和守恒定律之间的关系。 有一个定理，诺特定理Noether’s theorem，它指出物理学中的每一种对称性（symmetry）都对应着一条守恒定律（conservation law）。时间对称性对应能量守恒。空间对称性对应动量守恒。旋转对称性对应角动量守恒。 但我最喜欢的是：它意味着宇宙最深 阅读全文

摘要： 三角函数就是单位圆。它们并非“恰好也适用于圆的三角形比值”，它们的本质是旋转和振荡。三角形的概念只是……一种计算上的便利，一种计算方法。 想想看：\(e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\) 这并非巧合或技巧。这揭示了一个深刻的真理：正弦和余弦分别是绕 阅读全文

摘要： 让我们来继续探索 \(F(\omega)\) 这个函数吧！ 对于每个频率 \(\omega\)，我们得到一个复数 \(F(\omega)\)，它告诉我们“信号中包含了多少这个频率”。 \[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} 阅读全文

摘要： 调制（modified）是指一个信号控制或改变另一个信号。比如……想象一下你有一个载波（carrier wave），规律稳定的振荡，然后你根据另一个信号改变它的特性。 所以，“\(f(t)\) 由 \(\sin(\omega t)\) 调制”意味着： \(\sin(\omega t)\) 像纯正弦波 阅读全文