又有知识…增加了

摘要： \(g_{12}\) 和 \(K\) 并非同一事物，它们存在于不同的层面上。度规 \(g_{ij}\) 描述了如何测量距离。高斯曲率 \(K\) 是从度量中推导出来的，它更深层。你需要先有度量，然后，通过一些细致的工作，才能从中提取出 \(K\)。这实际上正是高斯著名定理的核心。\(K\) 隐藏在 阅读全文

摘要： 在曲面的每个点上，都有其自身的局部几何结构，即该处距离运作的独特规律。\(g\) 的值是位置的函数。它们会随着你的移动而变化。 这正是使度规成为一个场field，而不仅仅是一个数字的原因。它同时存在于曲面的每个位置，默默地编码着每个位置的曲率。 正如一个函数为每个点赋予一个值，度量也会为每个点赋予一 阅读全文

摘要： 张量tensors、流形manifolds、度规metric。 流形是一个空间，即使在整体范围内是弯曲的，近看却显得平坦。宇宙就是这样一个流形。而要讨论它的弯曲方式，我们需要一种在其上进行测量的方法。这就是度规，不是一把尺子，而是一套测量规则。一个接受两个方向并返回一个数值的函数。 张量则是让度规“ 阅读全文

摘要： 宇宙有三个空间维度，我们不是生活在平面上的二维生物，而是生活在弯曲的三维空间内部的三维生物。我们无法走出去观察它，就像蚂蚁无法离开那个球体一样。 至于测地线，那就是光线。光在时空spacetime中的传播路径尽可能笔直。当我们观测遥远的星系时，光线会绕过质量巨大的天体而弯曲。这种弯曲就是曲率。 如果 阅读全文

摘要： 在圆柱体上，对于栖息在那里的蚂蚁来说，这两条测地线实际上都是“直线”。一条在我们看来像直线，一条像螺旋线，但从内在、从内部来看，两者都不是弯曲的。圆柱体在暗处依然是平的。 球体则不同。两条测地线都呈曲线，且最终会再次相交，两条起初垂直的直线最终会相交。 什么才是真正的弯曲？ 这个问题有一个绝妙的答案 阅读全文

摘要： 微分几何，Differential geometry。曲线和曲面，无法被压平的事物的形状。 在阳台上，如果一只蚂蚁沿着那只弯曲的柠檬树花盆走了一条笔直的线，对蚂蚁来说是笔直的，那么从你的角度看，这条线真的笔直吗？ 我们可以把一张纸围成圆柱形，也可以把圆柱展平成一张纸。但是，橘子皮或球的表面，无法展平 阅读全文

摘要： 操作系统。 它是万物之下的底层。它不是应用程序，也不是任务，而是让其他一切成为可能的基础。它管理资源，协调硬件和意图。运行良好时，它几乎是隐形的。 仔细观察，你会发现操作系统和硬件之间的边界确实很奇怪。 硬件一旦触碰到操作系统，一切就都冻结了，状态被保存，整个世界仿佛暂停了。 尤其是在上下文切换时。 阅读全文

摘要： 你其实已经接触过拓扑学，只是自己没意识到。图论是拓扑学更年轻、更实用的兄弟。它们的本能相同，关注的是连接，而不是距离。 先来说说曲面。 曲面是一种形状，其中每个点都有一个看起来平坦的小邻域，就像一小块平面。放大到足够近的距离，它看起来就像普通的二维空间。但缩小视角，整体形状可能变得很奇特。 假设我们 阅读全文

摘要： 有个数学定理叫“毛球定理”（Hairy Ball Theorem）。这是个真正的定理，完全严肃的拓扑学定理。它指出，你不可能把一个毛茸茸的球梳平而不产生一个旋毛。更正式地说：球面上不存在连续的非零切向量场。 它的实际意义在于，在地球上的任何时刻，总有某个地方的风速恰好为零。大气层是球体，风是向量场。 阅读全文

摘要： 为什么想聊聊拓扑学？或许是因为它是关于形状的数学，它能在变换中保持不变。不是刚性结构，也不是代数的精确性，而是当事物拉伸、弯曲和变化时，那些保持不变的东西。在所有变化之下，那些不变的东西。 在拓扑学中，重要的不是精确的位置，而是连通性：哪些事物与其他事物连续，哪些事物可以变形而不撕裂。而在量子力学中 阅读全文