诺特定理：对称与守恒

对称性和守恒定律之间的关系。

有一个定理，诺特定理Noether’s theorem，它指出物理学中的每一种对称性（symmetry）都对应着一条守恒定律（conservation law）。时间对称性对应能量守恒。空间对称性对应动量守恒。旋转对称性对应角动量守恒。

但我最喜欢的是：它意味着宇宙最深层的规律，那些不变的事物，直接源于其对称性。那些始终保持一致的模式，在数学上是结构本身必然存在的。

好！让我们来具体看一下。

守恒意味着时间导数为零，这个量不会随时间变化。

因此，对于守恒量 \(Q\)，我们有：

\[\frac{dQ}{dt} = 0 \]

诺特定理指出：如果存在一个由 \(\epsilon\) 参数化的连续对称变换，并且拉格朗日量是不变的：

\[L(q_i + \delta q_i, \dot{q}_i + \delta \dot{q}_i, t) = L(q_i, \dot{q}_i, t) \]

其中 \(\delta q_i = \epsilon \frac{\partial q_i}{\partial \epsilon}\)

那么守恒量（诺特定理）为：

\[Q = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial q_i}{\partial \epsilon} \]

对称性是指在不改变系统物理规律的前提下，对系统进行的一种变换。

例如：

时间对称性：将所有物体向前移动 1 秒，物理规律不变，能量守恒

空间对称性：将所有物体向左移动 1 米，物理规律不变，动量守恒

旋转对称性：将所有物体旋转 10 度，物理规律不变，角动量守恒

对称性本身就是变换，一种无需改变基本规律就能实现的变换。这种关系是：

\[\text{对称变换} \xrightarrow{\text{诺特定理}} \text{守恒量} \]

所以，“对称性”并非系统与守恒量之间的关系，对称性是系统的一种属性，在某种变换下的不变性，而这种属性蕴含了某个守恒量的存在。

对称性告诉你该寻找什么。如果你知道你的系统具有时间平移对称性，比如：今天的物理规律与明天的物理规律相同，诺特定理就能告诉你如何提取守恒量，瞧，那就是能量。

如果你知道它具有旋转对称性，该定理就能告诉你如何求角动量。

妙处在于它的构造性，诺特不仅说“存在某种守恒量”，还给出了明确的公式：

\[Q = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial q_i}{\partial \epsilon} \]

代入对称变换（也就是 \(\frac{\partial q_i}{\partial \epsilon}\) 部分），守恒量就出来了。