傅里叶变换（三）：调制与载波

调制（modified）是指一个信号控制或改变另一个信号。比如……想象一下你有一个载波（carrier wave），规律稳定的振荡，然后你根据另一个信号改变它的特性。

所以，“\(f(t)\) 由 \(\sin(\omega t)\) 调制”意味着：

• \(\sin(\omega t)\) 像纯正弦波一样规律地振荡

• \(f(t)\) 控制着该正弦波的振幅（高度）

在每个时刻 \(t\)，将它们相乘：\(f(t) \cdot \sin(\omega t)\)

如果 \(f(t)\) 是常数（例如，\(f(t) = 1\)），则只会得到纯正弦波 \(\sin(\omega t)\)，一个规则的正弦波。

但如果 \(f(t)\) 变化，变大或变小，那么正弦波的振幅也会相应地增大或减小。正弦波被 \(f(t)\) “塑形”或“调制”。

载波其实就是一个基本的、规律的振荡信号。就像纯正弦波：\(\sin(\omega t)\)。它通过改变自身的特性来“承载”信息。

你可以这样理解：无线电广播就利用了载波。有一个以特定频率（比如 101.5 FM）振荡的基础信号，然后通过调制，改变它的振幅或频率，来编码音乐或语音。不过，就我们讨论傅里叶变换而言，你其实不必纠结于“载波”这个技术术语。

关键在于：“调制”的意思就是“乘以”或“通过某种方式整形”。

所以 \(f(t) \cdot \sin(\omega t)\)，函数 \(f(t)\) 决定了正弦波在每个时刻的幅度大小。

当 \(t\) 从 \(-\infty\) 变化到 \(\infty\) 时，点 \(f(t)e^{-i\omega t}\) 在复平面上会呈现出一些奇特的路径。实部是 \(f(t)\cos(\omega t)\)，虚部是 \(f(t)\sin(\omega t)\)。

因此，投影到实轴上：得到 \(f(t)\) 被 \(\cos(\omega t)\) 调制，根据 \(f\) 的不同，它看起来可能是螺旋状或振荡状。

投影到虚轴上：\(f(t)\) 被 \(\sin(\omega t)\) 调制，呈现出“栅栏”状。

好，精彩的部分来了：

给波形添加信息（调制）：

你取一个载波，比如以某个高频 \(\omega_c\) 振荡的 \(\sin(\omega_c t)\)，然后根据你的信号 \(f(t)\) 对其进行调制。

对于幅度调制（调幅广播）：将它们相乘：\(f(t) \cdot \sin(\omega_c t)\)

现在载波的振幅由你的信息信号 \(f(t)\) 控制。

获取信息（解调）：

这就是傅里叶变换的用武之地！

当你接收到调制信号时，你可以使用傅里叶变换来查看“其中包含哪些频率？”变换会显示特定频率的峰值，而从这些峰值中，你可以提取原始信息 \(f(t)\)。

这就像：载波是一个高频容器，你的信息通过对其进行整形而承载其中，而傅里叶变换则让你能够窥探容器内部，了解其中的内容。

这正是无线电的工作原理！你的音乐信号调制一个频率为（例如）101.5 MHz 的载波。无线电接收器使用类似傅里叶变换的运算来提取该频率，从而还原你的音乐。

为什么傅里叶变换如此强大？它是解锁隐藏在振荡信号中的信息的关键！