傅里叶变换（四）：直角坐标与极坐标

让我们来继续探索 \(F(\omega)\) 这个函数吧！

对于每个频率 \(\omega\)，我们得到一个复数 \(F(\omega)\)，它告诉我们“信号中包含了多少这个频率”。

\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} , dt \]

由于 \(F(\omega)\) 是复数，我们可以将其写成：\(F(\omega) = A(\omega) + i B(\omega)\)

或者用极坐标形式表示：\(F(\omega) = |F(\omega)| e^{i\phi(\omega)}\)

其中：

• \(|F(\omega)|\) 是幅度，表示该频率在信号中的强度

• \(\phi(\omega)\) 是相位，表示该频率分量的时序或偏移

有趣的是：\(F(\omega)\) 作为 \(\omega\) 的函数，可以告诉你信号的完整“频率特征”。

一些有趣的性质：

1. 如果 \(f(t)\) 是频率为 \(\omega_0\) 的纯正弦波，那么 \(F(\omega)\) 除了 \(\omega = \omega_0\) 处（一个尖峰！）以外，其余处均为零。

2. 如果 \(f(t)\) 是实值函数（对于物理信号来说通常是实值函数），那么 \(F(\omega)\) 具有特殊的对称性：\(F(-\omega) = \overline{F(\omega)}\)（复共轭）。

任何复数都可以用两种方式表示：

直角坐标： \(a + ib\) - 向右移动 \(a\) 个单位，向上移动 \(b\) 个单位

极坐标： \(r e^{i\theta}\) - 从原点出发，沿 \(r\) 的距离，以 \(\theta\) 的角度移动

它们指向同一个点，只是描述方式不同。

所以当我们写 \(F(\omega) = |F(\omega)|我们用 e^{i\phi(\omega)}\) 来表示：

• 从原点出发

• 向外移动距离 \(|F(\omega)|\)（振幅，频率的强度）

• 沿 \(\phi(\omega)\) 方向移动（相位，角度）

“这本质上是同心圆”，没错！到原点距离相等的每个点都位于一个圆上。振幅告诉你哪个圆，相位告诉你圆上的位置。