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摘要： 毒瘤中的毒瘤。 类欧几里得算法 给定 \(n,a,b,c\)，分别求 \[\sum_{i=0}^n\lfloor{ai+b\over c}\rfloor\ ,\ \sum_{i=0}^n\lfloor{ai+b\over c}\rfloor^2\ ,\ \sum_{i=0}^ni\lfloor{ai 阅读全文

摘要： 本文略过了 trie 和 可持久化的介绍，如果没学过请先自学。 在求给定一个值 \(k\) 与区间中某些值的异或最大值时，可以考虑使用在线的数据结构可持久化 01-trie 来维护。 01-trie 01-trie 本身是用以求异或最大值的数据结构。 考虑板子题：给定 \(n\) 个数，\(m\) 阅读全文

摘要： 实际上略过了一小部分基础数论。 杜教筛时间复杂度的证明还需要一点微积分基础。目录积性函数定义狄利克雷卷积定义性质狄利克雷逆应用恒等式数论分块（整除分块）重要观察枚举取值线性筛原理正确性复杂度代码实现杜教筛简介式子推导时间复杂度应用筛 \(\mu\)筛 \(\varphi\)代码实现 积性函数 数论函 阅读全文

摘要： 观前提示：这可能浪费你人生中宝贵的几分钟。 万物起源 一切要从神秘的校测说起，考到了对上升幂与组合数乘积求和。 朴素的做法由上升幂转普通幂再转下降幂，同时出现了第一类和第二类斯特林数，递推复杂度至少带平方。也就是这个式子： \[i^{\overline m}=\sum_k{m\brack k}i^k 阅读全文

摘要： 组合数基础 Link 真的是基础 Lucas 定理 Link 扩展待补 组合数列 Link 斯特林数待补 生成函数 咕咕咕 容斥与反演 反演基础 Link 容斥基础 Link 阅读全文

摘要： 组合小杂烩 卡特兰数 Catalan 数列 \(H_n\) 有三个表达式： \[\begin{aligned} H_n&= \begin{cases} \sum\limits_{i=0}^{n-1}H_iH_{n-i-1}&(n\ge2)\\ 1&(n=0,1) \end{cases}\\ &={H 阅读全文

摘要： 前言 Oi wiki 和网上博客的证明都没完全看懂，最后还是自己推出来的。。这里记录一下思路。 Lucas 定理 对于质数 \(p\)，$${n\choose m}\bmod p={\lfloor n/p\rfloor\choose \lfloor m/p\rfloor}\cdot{n\bmod p 阅读全文

摘要： 定义 组合数，也叫二次项系数，定义为 \[C^m_n=\binom n m=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m!} \] 下降幂： \(n\) 的 \(m\) 次下降幂定义为$$n^\underline m=n(n-1)\cdots(n- 阅读全文

摘要： Luogu P1192 台阶问题 Link 简要题意： 给定台阶数 \(n\le10^5\) 和一步至多跨越台阶数 \(k\le10^2\) ，初始在 \(0\) 级，求方案数 \(\pmod {10^5+3}\)。 思路： 设 \(f_i\) 表示走到第 \(i\) 级台阶的方案数，题意直接说明了 阅读全文

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