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V.Product 要求这个东西： \(\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n\dfrac{\operatorname{lcm}(i,j)}{\gcd(i,j)}\) 开始推式子。 \(\begin{aligned}\\&\prod_{i=1}^n\prod 阅读全文
posted @ 2021-04-05 21:49
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IV.Lcm 既然上一道题中的DZY都能自定义函数，那我们为什么不能呢？ 定义$f(x)$为$x$中是否含有平方项。没有则为$1$，有则为$0$。显然，它是积性函数。而我们要求的，就是 \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\dfrac{ij}{\gcd(i,j)}f(\gcd(i,j 阅读全文
posted @ 2021-04-05 21:46
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III.DZY Loves Math 题意：求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mf(\gcd(i,j))\)，其中$f(x)$表示$x$的所有质因数中次数最高的一个的次数。 近乎套路的一堆操作后，我们得到了 \(\sum\limits_{i=1}^{\ 阅读全文
posted @ 2021-04-05 21:44
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II.[CQOI2015]选数 我们要求这个东西： \(\sum\limits_{a_1=L}^R\sum\limits_{a_2=L}^R\dots\sum\limits_{a_n=L}^R[\gcd\limits_{i=1}^n(a_i)=k]\) 老套路，除一下，得到 \(\sum\limit 阅读全文
posted @ 2021-04-05 21:42
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I.简单的数学题 在做这题之前，我们先来见一位老朋友： \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\gcd(i,j)\) 我们在1.v.[NOI2010]能量采集中就已经接触到了这道题。当时我们运用了$\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]\ 阅读全文
posted @ 2021-04-05 21:38
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3.杜教筛 之前在做莫反的题时，有很多题都需要用到杜教筛，因而我非常不爽。因此便来研究杜教筛了。 杜教筛可以干什么？ 在非线性时间内（准确说，\(O(n^{\frac{2}{3}})\)）求出某些积性函数的前缀和。例如，\(\sum_{i=1}^n\mu(i)\)。 怎么办呢？ 假设我们要求$S(n 阅读全文
posted @ 2021-04-05 21:36
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2.狄利克雷卷积与数论函数 在1.v.[NOI2010]能量采集中，我们第一次认识到了狄利克雷卷积这个概念。下面我们将介绍它的更多性质。 我们之前得到了如下性质： \(\boxed{h(n)=(f*g)(n)\Leftrightarrow h(n)=\sum_{d|T}f(d)*g(\dfrac{T 阅读全文
posted @ 2021-04-05 21:34
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ix.[51Nod1222]最小公倍数计数 求 \(\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\operatorname{lcm}(i,j)\in[a,b]\Big]\)。 考虑差分，问题转换为 \(\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\ 阅读全文
posted @ 2021-04-05 21:32
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viii.[SDOI2017]数字表格 题意：求出 \(\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^mf_{\gcd(i,j)}\)，其中$f$是斐波那契数列。 就算是积，我们也一样能反演，只是反演到了指数头上。 \(\begin{aligned}\prod_{i= 阅读全文
posted @ 2021-04-05 21:28
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vii.[SDOI2014]数表 仍然是线性筛筛各种东西。我们引出一个东西$\sigma(x)=\sum\limits_{d|n}d$，也就是$x$的约数和。这个东西明显是积性函数。设$x=\prod\limits_n(P_i)\(，则\)\sigma(x)=\prod\limits_n(\sum\ 阅读全文
posted @ 2021-04-05 21:23
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