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VII.exBSGS（扩展大步小步算法） 同理，exBSGS适用于 \(a^x\equiv b\pmod p\) 的情形。只不过，这里不再要求 \(a\perp p\)（这里 \(\perp\) 符号表示互质）。 若 \(\gcd(a,p)\neq1\)，则记其为 \(d_1\)，显然 \(a\) 阅读全文
posted @ 2021-04-06 11:10
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VI.BSGS（大步小步算法） 欢迎来到 北上广深 拔山盖世 比赛搞事 不算个事 算法学习现场。 BSGS，全名 Baby Step Giant Step 算法，是用于求解 \(a^x\equiv b\pmod p\)，其中 \(\gcd(a,p)=0\) 的算法。 我们记 \(K=\sqrt{p} 阅读全文
posted @ 2021-04-06 11:08
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V.阶与原根 实际上这部分内容在OI中应用很少，但它是一些重要思想以及算法的基础。 阶是在互质数 \((a,m)\) 间的定义：满足 \(a^n\equiv1\pmod m\) 的最小 \(n\) 被称作 \(a\) 模 \(m\) 的阶，记作 \(\delta_m(a)\)。 明显，在 \(a,m 阅读全文
posted @ 2021-04-06 11:06
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IV.exLucas（扩展卢卡斯定理） 虽然是这个名字，但是它跟常规卢卡斯没有半毛钱关系 exLucas也是用来计算 \(\dbinom nm\bmod p\) 的。不同于普通Lucas，这里的 \(p\) 可以不为质数。 对于不为质数的模数，一个常规的想法是对其分解质因数，然后考虑其对于每个质数的 阅读全文
posted @ 2021-04-06 11:04
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III.Lucas（卢卡斯定理） Lucas定理： \(\boxed{\dbinom nm\equiv\dbinom{n\bmod p}{m\bmod p}\times\dbinom{n/p}{m/p}\pmod p}\) 该式子仅适用于 \(p\) 为质数的情形。 证明： 首先，对于 \(i\in 阅读全文
posted @ 2021-04-06 11:02
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II.exCRT（扩展中国剩余定理） 上文我们说到，CRT仅适用于 \(m\) 两两互质的情形。那如果不保证这一限制，明显原方程是仍然有解的，如何求解呢？ 在上文的最后，我们成功将三个式的方程消到了两个，在这里能否继续？ 我们考虑这个式子： \(x=a+\alpha A=b+\beta B\) 其等 阅读全文
posted @ 2021-04-06 11:01
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I.CRT（中国剩余定理） 中国剩余定理： 已知方程 \(\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{m_1}\\\vdots\\x\equiv a_n\pmod{m_n}\end{cases}\) 则我们设$M=\prod\limits_nm_i,M_i=\dfrac,b_i=(M 阅读全文
posted @ 2021-04-06 10:59
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V.III.[CTSC2018]混合果汁 二话不说先套个整体二分。 但是这题整体二分与先前两道题有所区别——前面两道题，当二分到区间 \([l,r]\) 时，只需管 \([l,r]\) 中的元素就行了，对于 \(mid\) 不合法的询问直接减去这一段的询问的结果就行了； 但是，本题就不一样了：随着美 阅读全文
posted @ 2021-04-06 10:56
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V.II.[国家集训]矩阵乘法 整体二分，然后套上二维BIT统计就行了。 需要注意的是整体二分时，要注意哪里是“编号”，哪里不是！（放在代码中就是哪里的东西外面要套上一层 p[]） 时间复杂度 \(O(m\log m\log^2n)\)。 代码： #include<bits/stdc++.h> us 阅读全文
posted @ 2021-04-06 10:54
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V.I.[POI2011]MET-Meteors 套上整体二分，然后用BIT统计区间里每个国家收到多少陨石就行了。 听说有人还有用线段树上二分之类奇怪的东西，但是真的没有必要。 时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)。 代码： #include<bits/stdc++.h> using name 阅读全文
posted @ 2021-04-06 10:52
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