随笔分类 - 数论——性质的猜想与证明
摘要：III.重返现世 考虑扩展minmax定理： \(\text{Kthmax}(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|-K}\dbinom{|\mathbb T|-1}{K-1}\min(\mathbb T)\)
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摘要：II.[PKUWC2018]随机游走 无脑上minmax容斥。问题转换为求从起点 \(S\) 出发，到达集合 \(\mathbb S\) 中某一点的期望时间。 因为有环，考虑直接爆上高斯消元，时间复杂度 \(O(n^32^n)\)。 看上去不太能过？但是这份代码卡常卡得比较优美，加上又没有出菊花图卡
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摘要：这里是minmax容斥学习笔记。 minmax容斥是一种神奇的可以在一个集合的 \(\min\) 和 \(\max\) 间架起桥梁的工具。它的公式如下： \(\max(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1}
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摘要：XI.[NOI2020] 超现实树 Observation 1.答案为 No 当且仅当有至少一棵深度为无限的树无法被生成。 这是显然的。 Observation 2.答案为 No 当且仅当存在至少一棵深度为 \(lim=\max\limits_{i=1}^m\operatorname{dep} T_
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摘要：VII.[GYM102798F]Skeleton Dynamization 神题。 首先，我们考虑若我们确定有一条边 \((u,v)\)，是连接层 \(i\) 和层 \(i+1\) 上对应点的边，有无办法建出整个分层图出来？ 答案是有的。首先，我们先跑两遍bfs求出所有点到 \(u\) 和 \(v\
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摘要：VI.[GYM102900H]Rice Arrangement 首先，考虑最终匹配上的人-饭对中，有两对是 \((a_{i1},b_{j1})\)，\((a_{i2},b_{j2})\)（此处的 \(a,b\) 都是原本圆桌上坐标）。假如它们呈包含关系，则我们一定可以交换两碗饭使得它们变成相交关系，
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摘要：IV.CF1458D Flip and Reverse 神仙题。 首先，很容易想到我们另开一个数组，在0的位置记作$-1$，在1的位置记作$+1$，然后作一遍前缀和。这样，若两个位置前缀和相等，则显然它们间的子串是01数量相等的。 然后，对于这种01数列上套前缀和的，一个显然的想法是将其画成折线图的
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摘要：III.JOIOI 王国 (Kingdom of JOIOI) 考虑矩阵中的全局最大值和最小值。明显，如果有比最劣解更好的解法，则它们一定不会被分到同一组内。 于是，此最大值一定是某一个省的最大值，而此最小值一定是另一个省的最小值。 故我们考虑二分极差的最大值。则我们现在对于每个位置，它要么只能被分
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摘要：I.CF1423N BubbleSquare Tokens 神仙构造题。 首先，我们令所有点初始都没有放币，所有边上都放了一个币。则此时每个点的权值即为它的度数。 然后，我们考虑从小到大计算每个点的权值。对于每个点$i$，我们枚举它所有相邻且编号比它小的点，假如该点上没有币，就把币从连接两点的边上移
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摘要：本文绝大部分内容来自《混凝土数学》 在被多项式爆踩的时候，我偶然发现了《混凝土数学》这本书，然后兴冲冲入手，一看啥都不会，于是就只能在这里带着推推柿子，尝试理解理解，也方便以后复习。 （本文略过了大部分对OI无用的芝士，可以放心食用） （顺带一提这略掉的东西可能还有点多） 现在开始！ I.下降幂与上
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摘要：IV.[GYM102900K]Traveling Merchant 首先，观察到路径一定是一个 \(\rho\) 形的东西，其中在 \(\rho\) 的交点之前，一直都是黑白点交替，到了交点处是两个同色点。 于是我们就只保留异色边建一张图，则问题就转变为给你多对同色点，询问有无从 \(1\) 经过其
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摘要：II.[APIO2018] Duathlon 铁人两项 我们考虑对于这样一个三元组$\left<s,c,f\right>$，假如我们固定了$s$和$f$，$c$有多少种可能的取值呢？ 显然，$c$的取值等于$s\rightarrow f$的简单路径的并集的大小减$2$，因为$s$和$f$不能作为$c
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摘要：VII.[HNOI/AHOI2018]毒瘤 题如其名 先说一下我的思路：跑出任一生成树，关于非树边的点集建虚树，然后在虚树上跑状压DP。非树边最多有 \(11\) 条，则非树边点集最大是 \(22\)，则虚树大小最大 \(43\)，因此状压DP复杂度是 \(43\times2^{43}\)，显然不可
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摘要：VI.LOJ#3077. 「2019 集训队互测 Day 4」绝目编诗 神题。 乍一看好像和虚树半毛钱关系都没有呀？没关系，过亿会就有了。 我们不妨先从暴力开始想起。 暴力怎么写？暴力怎么写？加边加边加边，搜就完事了。 没错，这里的暴力就是爆搜——搜出所有环来，然后判断是否有两个环长度相等即可。 但
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摘要：IV.IV.[Ynoi2016] 镜中的昆虫 没错，这里就是CDQ分治 \(O(n)\) 的优势所在了——本题似乎卡掉了空间复杂度为 \(O(n\log^2n)\) 的树套树。 但这不妨碍我继续说：树套树yyds 首先，这里有一个结论：长度为 \(n\) 的序列，修改 \(m\) 次，\(las\)
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摘要：III.II.[SDOI2016]游戏 明显，一条从 \(x\) 到 \(y\) 的路径可以被拆作两条从LCA下来的路径，并且路径上每个点被写上的数是关于其深度的一次函数。 于是就树剖套李超树就行了。 但是有个问题，李超树不是只支持单点询问吗，怎么这里又支持区间了呢？ 我们发现，对于一条线段，其与我
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摘要：VII.[NOI2016] 循环之美 依据小学数论知识，我们要求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]\) 因为后面的 \(k\) 是个常数，所以我们就想把它搞出来。 \(\begin{aligned}&
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摘要：VI.LJJ爱数数 题目给出要求这样的东西 \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\) 开始胡搞 \(\begin{aligned}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}&=\dfrac{1}{c}\\\dfrac{a+b}{ab}&=\dfra
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摘要：III.DZY Loves Math 题意：求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mf(\gcd(i,j))\)，其中$f(x)$表示$x$的所有质因数中次数最高的一个的次数。 近乎套路的一堆操作后，我们得到了 \(\sum\limits_{i=1}^{\
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摘要：ix.[51Nod1222]最小公倍数计数 求 \(\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\operatorname{lcm}(i,j)\in[a,b]\Big]\)。 考虑差分，问题转换为 \(\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\
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