随笔分类 - 数论——性质的猜想与证明
摘要：1.莫比乌斯函数与莫比乌斯反演 O.约定 \(\color{white}\colorbox{red}{本blog中所有的分数，无论有无下取整符号，均默认下取整。}\) 主要是因为我太懒了，下取整符号的$\LaTeX$表达式太长了 I.作用 设有一函数$g(n)=\sum\limits_{d|n}f(
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摘要：XXI.最小圆覆盖 随机增量法。 引理1.对于任意一组点集$\mathbb$和某点$P$，则$P$要么在$\mathbb\(的外接圆内，要么在\){\mathbb\cup P}$的外接圆上。 于是我们可以设计出如下的解法： 我们枚举一个$1\sim n$的变量i，并判断当前点是否在当前外接圆内。如果
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摘要：XLVII.CF1500E Subset Trick 考虑对于每个集合大小 \(i\)，找到所有大小为 \(i\) 的集合中元素和最小的一个 \(l_i\) 与最大的一个 \(r_i\)。则，所有 \(x\in[l_i,r_i)\) 均不合法。 于是我们就要求 \(\Big|\bigcup\limi
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摘要：XXXIX.[NOI2017] 蔬菜 第一眼这个奇奇怪怪的限制，想到网络流。 为了处理这个“每天坏 \(c_i\)”个的限制，我想到的方法是，第一天的 \(c_i\) 个仅能在第一天销售，就只往代表第一天的点连边；第二天的 \(c_i\) 个可以在第一天和第二天销售，故往代表第一天和第二天的点连边；
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摘要：XXXVIII.[NOI2016] 网格 首先，答案一定 \(\leq2\)，因为四个角的跳蚤被围住只需要两个蛐蛐，而如果蛐蛐占住了一个角又会产生新的角。 \(-1\) 的情形比较容易，要么空隙少于 \(2\) 个，要么仅剩的两个空隙在一起。两种情况下 \(n\times m\) 都与 \(c\)
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摘要：XXXV.CF36E Two Paths 为什么这题会被归到数据结构博客里呢？因为我的代码使用了大剂量的 STL。 我吹爆 list 有没有！再也不手写链表了（并不），但是在欧拉路问题上真的贼好用！ 首先，覆盖所有边恰一次，妥妥的欧拉路模型。 然后就先考虑如何判无解了。怎样无解呢？ 有少于 \(2\
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摘要：XXXIV.[九省联考2018]IIIDX 首先，一个非常naive的想法是，建出通关的树出来，然后dfs它，在访问到一个节点时，将现有最小的值赋给它，然后从大到小遍历每个子节点。 这个算法会被 \(d\) 相同的情形叉掉，因为它可以构造出这样一组数据：若某个节点的子树为 \(1\)，且它的兄长（指
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摘要：XXXI.CF626G Raffles 首先，我们列出“往一个奖池内多投一张彩票”，在奖项为 \(c\)、初始有 \(a\) 张、当前已经又投了 \(r\) 张时的额外收益： \(c\times\Big(\dfrac{r+1}{a+r+1}-\dfrac{r}{a+r}\Big)\) 稍微化简一下就
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摘要：XXX.CF505E Mr. Kitayuta vs. Bamboos “最大值最小”，条件反射套个二分上去。 于是现在问题转变成判定型问题。 正着搞不好处理 \(\max(h_i-p,0)\) 这种套了 \(\max\) 的限制，干脆正难则反，考虑倒着处理。 于是问题转变为 第 \(i\) 天开头
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摘要：XXVIII.[UOJ#576][ULR#1]服务器调度 非常可怕的大数据结构题，原版代码整整码了9K，就算稍微合并合并也剩下7K…… 首先，我们考虑对每种颜色，建出一棵虚树。考虑求出虚树的一条直径。则有个结论是原树上到任意一点最远的点肯定是此直径的端点之一。 例如，我们考虑下方的这棵树： O /
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摘要：XXVII.CF573E Bear and Bowling 考虑暴力的DP。设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个元素中选择长度为 \(j\) 的子序列所能得到的最大收益。 考虑由 \(f_i\) 转移到 \(f_{i+1}\)。明显，一共有两种转移方式：\(f_{i,j}\righta
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摘要：XXV.CF702F T-Shirts 一句没有输出的调试语句忘删了，然后浪费了半小时debug\kk…… 首先观察到我们可以将所有物品按照quality为第一关键字递减排序，然后再关于price为第二关键字排序，这样所有人购买的东西就都必定是按照其一个子序列的顺序购买的。 于是把询问离线下来，然后
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摘要：XXIII.[JOI 2020 Final] 火事 题解
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摘要：XXII.CF477E Dreamoon and Notepad 题解
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摘要：XXI.[APIO2015]八邻旁之桥 首先先忽略所有在同侧的人，考虑异侧的人。 则明显，如果我们只在$p$位置修一座桥，则一个从某侧的$x$到另一侧的$y$的人，其一共要走的距离就是 \(|p-x|+|p-y|\) （忽略了桥长，因为桥长可以被统一计算） 于是我们发现，此时$x$和$y$是独立的。
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摘要：XIX.「JOI 2013 Final」バブルソート 冒泡排序 首先，有一个常识性结论，就是冒泡排序的次数等于逆序对数。所以本题等价于交换两个数使得减少的逆序对数最多。 于是我们翻出VIII.CF785E Anton and Permutation中给出的结论——当$i<j$且$a_i>a_j$时，
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摘要：XVIII.CF679E Bear and Bad Powers of 42 一个显然的想法是，观察到可能的值域（\(10^{14}\)）内不会有很多（准确地说，一共$11$个）$42$的整数次幂。于是我们考虑每次暴力修改，则每个数最多被处理$11$次，复杂度显然是可以承受的。 于是我们现在问题就转
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摘要：XVII.CF1413F Roads and Ramen 首先，注意到本题等价于求路径上所有边权的异或和为$0$的路径长度的最大值。 然后，我们要猜/证明出一个结论，即任意一条极长合法路径，其必有一个端点是直径端点。 证明： 我们设有一条直径$(S,T)$。我们再设$col_i$表示从$i$节点到根
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摘要：XV.CF319E Ping-Pong 好题。 首先，离线下来离散化显然是不用说的。 然后观察这里“可以移动”的定义，发现明显可以类比图论中的连边。发现边只有有向边（两区间包含）和无向边（两区间相交）两种，又因为我们只管连通性，所以无向边可以直接使用并查集维护。而包含关系又具有可传递性，故我们最终会
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摘要：XVII.[SDOI2017]龙与地下城 本题在模意义下和实数意义下，小范围和大范围下各有几种做法。 我们此处定义有$n$个骰子，每个骰子有$m$面。 小数据范围 明显发现它就是$f(x)=\frac{\sum\limits_xi}$的$n$次方。 于是直接倍增计算快速幂即可。时间复杂度$O(nm\
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