随笔分类 - 数论——性质的猜想与证明
摘要：XIV.[JXOI2018]排序问题 本题好像又不算期望罢…… 根据一些简单的推理，我们发现最终答案就是 \(\dfrac{(n+m)!}{\prod\limits_{i}cnt_i!}\) 其中$cnt_i$表示有多少个数是$i$。（这很简单，因为只有每个位置一一对应才能排序成功；但是值相同的数之
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摘要：XII.[NOI2005]聪聪与可可 这题一个naive的思路是设$p_{i,j}$表示$i$时刻老鼠在位置$j$的概率，然后求出$f_i$表示猫$i$时刻前抓到老鼠的概率（因为如果$i$时刻猫可以抓到老鼠，则$i+1$时刻猫一定仍可以抓到老鼠；而$i$时刻猫能抓到老鼠的位置只有可能距猫的起点$\l
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摘要：IX.[TJOI2015]概率论 O E I S 大 法 好 我们设$f(x)$表示$x$个节点的二叉树的叶子节点个数之和，$g(x)$表示$x$个节点的二叉树总数。则答案就是$\dfrac{f(n)}{g(n)}$。 显然$g$就是卡特兰数；$f$通过$O(n^4)$暴力DP可以打出表来，发现是
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摘要：VIII.随机数生成器 这题能自己做出来（虽然想了整整3天），我已经满足了。 我们设$p(x)$表示最大值刚好为$x$的概率。则答案为$\sum\limits_^mp(i)i$。 有了上一题的经验，我们很容易想到刚好为$x$的概率不好求，必须做一个前缀和/后缀和才好求。那么到底是用前缀和还是后缀和呢
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摘要：VII.[ZJOI2015]地震后的幻想乡 本题有两种思路。 一种思路是从暴力入手并优化状态。 我们考虑边的一组排列${p_1,\dots,p_m}$。它是将边按照边权从小到大排列的结果。则我们在这组排列上跑Kruskal，设在加入排名为$i$的边时跑出了一棵生成树，则这组排列的答案就是排名为$i$
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摘要：IX.[CERC2016]二分毯 Bipartite Blanket 二分图的重要定理：霍尔定理（Hall's Theroem）的应用。 霍尔定理：二分图 \(V=\Big((S,T),E\Big)\) 存在完美匹配，当且仅当 \(\forall s\subseteq S,|s|\leq |E_s|
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摘要：VIII.CF538H Summer Dichotomy 神题。 首先先考虑一个较弱的条件：如果没有$t$和$T$的限制，应该怎样分配$n_1$和$n_2$？ 我们如果令$n_1=\max l_i,n_2=\min r_i$，这即为最优的分配方式。 为什么呢？ 考虑对于一个$[l_i,r_i]$，什
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摘要：VI.CF1198E Rectangle Painting 2 这题要点是想到一个贪心：染色的时候一定是一次把一行或一列全染完，费用为$1$。有了这个结论，就可以进行匹配了。 首先，我们将矩形改写成左闭右开的形式，并进行离散化。然后，同上一题一样，只不过这道题是单次匹配的费用可能不为$1$（因为进行
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摘要：XXXVI.[UOJ#498]新年的追逐战 考虑最simple的场景，即我们要计算的是两张图的乘积 \(G=G_1\times G_2\)。显然，\(G\) 中的两个点 \((u_1,u_2)\) 与 \((v_1,v_2)\) 联通，当且仅当存在两条长度相等的可以是非简单的路径，满足第一条在 \(
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摘要：XXXV.[WC2019]数树 首先将问题从”存在路径同时属于两个树“，先转换成被两个树上同时存在的边连成的连通块中的所有边须有相同颜色。进一步地，因为两棵树的并必然是森林，而森林的连通块数即为点数减边数，因此一对树 \(T_1,T_2\) 的贡献便是 \(f(T_1,T_2)=y^{n-|T_1\
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摘要：XII.差分与前缀和 打 表 出 奇 迹 我们先考虑前缀和。 对于两个下标$i,j$，我们考虑$k$阶前缀和后，位置$j$会被加上多少个$a_i$。显然，加上$a_i$的数量，仅与$j-i$的值有关。 于是我们就打表辣 \(k\) \ \(j-i\) 0 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 2
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摘要：XIII.[USACO18JAN]Cow at Large P 这题我做的时候时限1s，然后卡不过去……之后不得不发帖请求把时限调大到题面中的4s 假设当前询问了点$rt$，那么我们把这棵树变成以$rt$为根，设$dep_i$为此刻$i$节点的深度。 我们再令$f_i$表示$i$节点距离最近的叶子的
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摘要：XVIII.[八省联考2018]制胡窜 首先，本题parent tree上树上倍增+线段树合并找出每个点的 \(\text{endpos}\) 集合应该是没得说的。 于是我们现在考虑知道了 \(\text{enspos}\) 集合以及询问串长度 \(len\) 怎么求出答案。 首先，一个正常人稍微想
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摘要：XXIII.CF603E Pastoral Oddities 结论1：只有点数为偶的连通块，才有可能使每个点的度数为奇。（偶连通块的必要性） 证明1：如果在奇连通块中，每个点的度数为奇，则总度数为奇，但是总度数必定是偶数（每条边增加两点度数），因此不可能存在奇的合法连通块。 结论2：任何点数为偶的连
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摘要：CLVI.CF868E Policeman and a Tree DP是很容易想的。但是如何设计状态呢？ 一开始我自己假设了一个结论：在警察出发前，所有罪犯会排成此时的最优方案，然后不动；然后在警察抓到一个罪犯后，所有罪犯会再度排成最优方案，之后就一直不动了。但是如果这样做的话 \(50\) 的数据
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摘要：CLIV.[CODE FESTIVAL 2017 qual C]Three Gluttons 题解
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摘要：CL.[NOI2018] 冒泡排序 结论1.交换次数压到下界，当且仅当不存在长度大于 \(2\) 的下降子序列。 证明很简单。众所周知的是，冒泡排序的交换次数等于序列逆序对数。要压到下界，与每个点有关的逆序对数都只能为 \(|i-p_i|\)，因为从 \(i\) 到 \(p_i\) 的过程中本身就要
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摘要：CIL.[NOI2020] 制作菜品 本题有三个难点：留意到题面中的 \(n-2\leq m\)；证明；想到 bitset 优化。 首先，在很隐蔽的角落，有一句话 \(n-2\leq m\leq 5000\)。假如没看到这句话，就乖乖爆零罢。 结论1. \(m\geq n-1\) 时一定有解。 要证
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摘要：CXLVIII.[NOI2019] 机器人 首先发现每个点向左向右能到达的位置就类似笛卡尔树上一个点的代表区间，不同的是这里有多个最大值时选取最右的一个。于是我们可以想到一个DP，\(f_{[i,j],k}\) 表示区间 \([i,j]\) 的最大值恰为 \(k\) 或不大于 \(k\)，两种设的方
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