随笔分类 - atcoder
摘要：假设$n=\sum_{i=0}^{k}a_{i}10^{i}$（其中$a_{k}>0$），则有$d=f(n)-n=\sum_{i=0}^{k}(10^{k-i}-10^{i})a_{i}$，考虑$i$和$k-i$，不难化简得到$d=\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{k-1}{2}\r
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摘要：考虑将两次移动作为一个整体，两次移动的效果分为：$s-u$、$u-s$和原地不动 对于从$s$回到$s$路径，必然有前两种效果使用次数相同，假设都为$i$（枚举），那么原地不动的次数$j=\frac{a+b+c+d}{2}-i$ $2i$次中使用$t$来移动的次数$x$，那么使用$v$的次数即为$y
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摘要：对于这一个平面用$a_{x,y}$来表示，即$(x,y)$为黑色则$a_{x,y}=1$，否则$a_{x,y}=0$，之后定义$a$能生成$b$当且仅当$a$能够通过若干次操作后得到$b$ 令$p_{y}=\bigoplus_{x}a_{x,y}$、$q_{x,i}=\bigoplus_{y\equ
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摘要：先对$c_{i}$离散到$[0,n]$上，并令$a_{i},b_{i},d_{i},e_{i}$对应到第一个大于等于他的数 考虑若$a_{n+1}$和$b_{n+1}$也已经确定如何做： 有一个$o(2^{n})$的暴力，即暴力确定每一个数是选择$a_{i}$还是$b_{i}$，记这些数依次为$p_
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摘要：令$d=\gcd(a,b)$，可以发现$c|(ax+by)$等价于$lcm(c,d)|(ax+by)$，因此不妨令$c'=lcm(c,d)$，然后将$a$、$b$和$c$同时除以$d$ 接下来设$(a,c)=d_{1}$，根据整除的传递性有$d_{1}|(ax+by)$，由于$d_{1}|ax$，可
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摘要：构造一张有向图$G=([1,n],\{(a_{i},b_{i})\})$（可以有重边和自环），定义其连通块为将其看作无向图（即边无向）后分为若干个连通块 记$in_{i}$为$i$的入度（即最终盒子中球的数量）、$out_{i}$为$i$的出度（即初始盒子中球的数量），对于$in_{i}=0$的点，
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摘要：由于$p_{i}$是随机的，不断选择最小的、未被操作过的$i$并处理其所在的环一定是最优的，而这样与已知$p_{i}$的区别是，当选择了一个$i=p_{i}$，那么必然失败（而已知$p_{i}$时不会去选择） 考虑令$t=\min_{p_{i}=i或i=A+1}i$，我们只能操作到$t-1$为止，因
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摘要：首先我们可以把所有位置都变为1，因此不妨假设$a\le b$ 一个字符串$s$合法当且仅当：将其中每一段长度不小于$a$的0变成1后，存在一段1的长度都不小于$b$ 证明：我们称$S_{a,b}$为通过$(a,b)$能产生的字符串所构成的集合，则有$S_{a,b}=S_{b,a}$ 称原来的字符串为
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摘要：将0变为-1后求前缀和，那么$s$的价值即为最大的前缀和-最小的前缀和（特别的，空前缀的前缀和为0） 令$f(x)$表示当最大的前缀和不大于$x$时，最小的前缀和最大是多少，答案即为$\min_{x}x-f(x)$ 考虑如何求$f(x)$，可以贪心，先令所有位置都为-1，记最大的前缀和为$k$（要有
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摘要：称满足第1个条件的图为竞赛图，先来分析竞赛图 结论1：竞赛图点集上的导出子图也为竞赛图（证明略） 结论2：对于一张竞赛图，若不含有3元环，则该图为DAG 证明：反证法，若其不为DAG，设最小的简单环为$c_{1},c_{2},...,c_{k}$，必然有$k\ge 4$ 根据第1个条件，考虑$c_{
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摘要：令$f_{i}$（一个集合）表示当第$i$步开始时第0方必胜当且仅当$x\in f_{i}$，初始$f_{n+1}=\{0\}$ 当$p_{i}=0$时，$f_{i}=\{x|x\in f_{i+1}或(x\oplus a_{i})\in f_{i+1}\}$；当$p_{i}=1$，$f_{i}=\
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摘要：每一个点都在一个排列中等价于所有排列覆盖所有位置 有解当且仅当满足$a_{y}\le 2a_{x}$（其中$a_{x}$为$a_{i}$的最小值，$a_{y}$为$a_{i}$的最大值） 证明：贪心选择排列覆盖，即令$r'=与[1,r]有交的排列中最大的右端点+1$（初始$r=1$，若$r=r'$则
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摘要：合并具有交换律，因此即将一个连通块（初始为空）与一条链合并（其中各选1点，初始直接替换） 把插入改为染色，等价于对树上的一条链（包括点和边）染色，其中恰好有1个已经被染色的点（初始任意） 对于”恰有1个已被染色的点“这个条件，其实是可以忽略的，证明如下： 由于染色的点必然是一个完整的连通块，即如果包
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摘要：考虑最终有石子的位置的状态，判断一种状态是否可行 反过来，依次删除石子，删除条件是：当删除的石子是该段最后一个（即其两边都没有石子了），要求除其以外，每个连续段旁边的两个点都与其颜色不同 构造一种删除方案： 除了最先删除的段以外，必然有一时刻（即该段最后一个位置删除时）其余段旁边的两个点颜色都相同，
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摘要：对这棵树重心情况分类讨论： 1.若这棵树存在两个重心，分别记作$x$和$y$，如果将$(x,y)$断开，两棵子树大小都相同（都为$\frac{n}{2}$），此时$p_{i}$与$i$必然不同属于一个连通块中，证明如下： 考虑若$p_{i}$与$i$在一个连通块中，则必然有$p_{j}$和$j$也在
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摘要：建一棵trie树，考虑一个串，相当于限制了其子树内部+其到根的链 如果将所有点补全，那么这个问题可以看作每一个极浅（子树内没有其他满足条件）的到根路径以及子树内部没有其他结束点的子树的子问题 对于多个子问题博弈，很明显去求sg，由于是一颗满二叉树，因此只与深度$l$（指该子树深度，与全局的$L$无关
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摘要：先构造使得$p_{i}$降序（即$p_{i}=n-1-i$），只需要从后往前，不断执行$i$操作直至合法即可 正确性的证明：首先保证了$[0,n-i)$这些数字都已经出现，因此操作不会破坏已确定的数字的顺序 同时，一个数字不会重复出现，因为若要与其交换后的位置再交换，仍需要其本身，显然不可能 （特别
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摘要：考虑令$a$、$b$和$c$分别对应1、2和3，那么每一次相当于令$x$和$y$变为$x\oplus y$（要求$x\ne y$） 根据异或的结合律，我们相当于将其划分为若干个区间求异或值 （另外还有$x\ne y$的条件，归纳可证等价于要求区间异或值不为0且区间内字母不完全相等或仅有1个字母） 为
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摘要：如果异或变为加法和减法，那么根据扩欧，$k$合法当且仅当$k|\gcd_{i=1}^{n}a_{i}$ 换一种方式定义约数：$x$是$y$的约数当且仅当存在$p_{i}\in \{0,1\}$使得$\sum_{i=0}^{\infty}2^{i}x=y$，那么类似的，再把加法改为异或，我们就得到了本
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摘要：构造一张图：$\forall x$，向$10x$连一条边权为0的边，向$x+1$连1条边权为1的边，那么0到$i$的代价即为$i$各位数字之和 考虑到我们只关心于当前点的两个特征：1.模$n$的余数（判定是否是$n$的倍数）；2.所对应的出边，那么根据模运算的性质，可以将$x\equiv y(mod
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