LewisLi 的博客

摘要： 以下若无特殊说明，函数均为多项式函数。系数对 998244353 取模。 多项式乘法 见 FFT——从入门到入土：6. 快速数论变换。 多项式牛顿迭代 设有任意可泰勒展开的函数 $g$，求满足 $g(f(x)) \equiv0 \pmod{x^n}$ 的多项式 $f(x)$，此时可以使用牛顿迭代法求 阅读全文

摘要： 前置知识 生成函数的概念以及运算 基本方法 生成函数求通项公式的基本思想是将序列的生成函数转成封闭形式，再用其他方法将其转成开放形式，取其系数就是通项公式。 斐波那契数列与卢卡斯数列 Fibonacci 数列的定义是：\(F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n>1)\)。 阅读全文

摘要： 定义 序列 \(A\) 的生成函数（又称母函数，generating function），是一种形式幂级数，其每一项的系数都可以提供关于 \(A\) 的信息。 形式幂是指，无论函数的自变量的取值是多少，都不影响原序列的信息。 常用的有普通生成函数和指数生成函数。 生成函数经常被用于处理组合/排列问题 阅读全文

摘要： 由题意，每一行内的数单调递增。又因为 \(0 \leqslant a_{i,j} \leqslant m\) 限制了这些数的取值范围。 那么我们相当于在 \(m + 1\) 个数中选 \(m\) 个数。必然有两个之间相差 \(2\)，其余的数连续。 我们设 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 阅读全文

摘要： 定义 我不是人类，我没有智慧。 一个有限无偏游戏（即公平组合游戏，以下简称游戏）有两名玩家，他们按照某种规则轮流进行操作。在游戏的一个局面下，双方允许进行的操作完全相同，且只取决于当前局面。当无法进行操作时游戏结束，不能行动的玩家输。游戏由一个初始局面开始，且一定会结束。 我们定义一个游戏的当前局面 阅读全文

摘要： 定义与性质 后缀自动机（Suffix Automaton，简称 SAM）是用于解决字符串问题的强有力的工具。它是一个能够接受字符串所有后缀的最小 DFA。 SAM 是一张有向无环图，每个节点叫做状态，每条边被称作转移。 SAM 存在一个源点 \(t\)，称为初始状态。任何状态均可从初始状态到达。 每 阅读全文

摘要： 线性基维护的是向量空间的一组基。在 OI 中，这种算法一般用来解决子集异或和类型的题目。 基本定义 容易发现，异或运算本身等价于在各数位上进行模二意义下的加法。 即每一个数位看作一维，每一个数都看作一个 \(n\) 维向量。 我们相当于求 \(\Z_2^n\) 的一组基。 首先定义什么是线性表示： 阅读全文

摘要： 普通做法 分块，设块长为$len$。我们求出每个块内的ST表，再求出块之间的ST表。 当$len=\log n$时预处理复杂度最优，为 \(O(\dfrac{n}{\log n}\log n+\dfrac{n}{\log n}\log n\log\log n)=O(n\log\log n)\)。 查 阅读全文

摘要： 分块乱搞，设块大小为 \(len\)。 我们暴力预处理每个块前缀、后缀的最大值，用 ST表 求出任意连续块之间的最大值。 预处理复杂度为 \(O(\dfrac{n}{len}\log\dfrac{n}{len}+n+n) = O(n)\)。 查询的时候找中间夹着的块的最大值、左侧后缀和右侧前缀。 查 阅读全文

摘要： FFT 是一种可以在 $O(n \log n)$ 的时间复杂度将多项式转为点值表达的算法。实际上， FFT 只是在求解方法上优化了 DFT（离散傅里叶变换）的过程，并没有提出新的理论。但是其高效的复杂度使得它被广泛使用。 阅读此文章前请先对复数有基本的了解。 定义 系数表示法 就是使用一个多项式的系 阅读全文