生成函数法求序列通项公式
前置知识
基本方法
生成函数求通项公式的基本思想是将序列的生成函数转成封闭形式，再用其他方法将其转成开放形式，取其系数就是通项公式。
斐波那契数列与卢卡斯数列
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Fibonacci 数列的定义是：\(F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n>1)\)。
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Lucas 数列的定义是：\(L_0=2,L_1=1,L_n=L_{n-1}+L_{n-2}(n>1)\)。
发现它们的定义十分相似。
对于 Fibonacci 数列，我们有：
\[F_n={\dfrac{(\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n}{\sqrt 5}}
\]
对于 Lucas 数列，我们有：
\[L_n = {(\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n + (\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n}
\]
待定系数求通项公式
定义 Lucas 数列的生成函数 \(L(x)\)。由递推式，我们有：
\[\begin{aligned}
L(x) &= x^2L(x)+xL(x)+2-x\\
L(x) &= \dfrac{2-x}{1-x-x^2}
\end{aligned}
\]
我们考虑通过等比数列的生成函数来表示 \(L(x)\)。用待定系数法，设有：
\[\dfrac{A}{1-ax}+\dfrac{B}{1-bx} = \dfrac{2-x}{1-x-x^2} \\
\]
可以得到：
\[\begin{cases}
A+B=2 \\
Ab+aB=1 \\
a+b=1 \\
ab=-1 \\
\end{cases}
\]
解得
\[\begin{cases}
A=1 \\
B=1 \\
a = \dfrac{1+\sqrt 5}{2} \\
b = \dfrac{1-\sqrt 5}{2}
\end{cases}
\]
所以
\[L(x)=\sum_{n \ge 0}\left((\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n+(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n\right)x^n \\
L_n = (\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n+(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n
\]
同样地，对于 Fibonacci 数列，我们有：
\[\begin{aligned}
F(x) &= x^2F(x)+xF(x)+x \\
F(x) &= \dfrac{x}{1-x-x^2}
\end{aligned}
\]
待定系数，解得
\[\begin{cases}
A=\dfrac{1}{\sqrt 5} \\
B=-\dfrac{1}{\sqrt 5} \\
a = \dfrac{1+\sqrt 5}{2} \\
b = \dfrac{1-\sqrt 5}{2}
\end{cases}
\]
所以有
\[F(x)=\sum_{n \ge 0}\dfrac{1}{\sqrt 5}\left((\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n\right)x^n \\
F_n = \dfrac{1}{\sqrt 5}\left((\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n\right)
\]
方法总结
- 由递推式将 \(A_n\) 写成方程。
- 将方程中的数换成生成函数。
- 检查正确性，是否有系数偏差，将缺失的部分补上。
- 解方程得到封闭形式。
- 将封闭形式转为开放形式，其系数即为通项公式。
广义二项式定理
我们可以将 \((x+y)\) 的任意正整数次幂写成：
\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}=
\begin{bmatrix}a^0&\cdots&a^n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\binom{n}{0}\\&\ddots\\&&\binom{n}{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b^0\\\vdots\\b^n\end{bmatrix} \quad(n\in\mathbf{N^+})
\]
将其拓展到实数域：
\[\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-k+1)}{k!}=\frac{(\alpha)_k}{k!}\\
(x+y)^\alpha=\sum_{k\ge0}\binom{\alpha}{k}x^ky^{n-k}
\]
证明
数学归纳法。
具体过程不会咕了。
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