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生成函数简介

定义#

序列 AA 的生成函数(又称母函数,generating function),是一种形式幂级数,其每一项的系数都可以提供关于 AA 的信息。

形式幂是指,无论函数的自变量的取值是多少,都不影响原序列的信息。

常用的有普通生成函数指数生成函数

生成函数经常被用于处理组合/排列问题。

普通生成函数#

开放形式#

我们看这样一个模型:

有三堆颜色不同的球,分别为 A,B,CA,B,C。其中,AA 有 3 个,BB 有 4 个,CC 有 2 个。问从中取出 4 个球进行组合的方案数是多少?

我们定义多项式 A(x)=1+x+x2A(x)=1+x+x2,系数表示 1 种方案,指数表示取几个。B,CB,C 同理。

那么最后的答案即为 ABC(x)ABC(x) 的第 4 项上的系数。因为第 4 项的系数表示取 4 个的方案数。

可以乘起来的原因是多项式乘法的本质是乘法分配律后同阶相加。

我们称形如 F(x)=ni=0aixiF(x)=ni=0aixi 为序列 [a1,a2,,an][a1,a2,,an] 的普通生成函数。

再来一个例子:

若有面值为 1,2,3,41,2,3,4 的钱币各 1 枚,请问一共能凑出多少种面值?

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4) 的项数即为答案。如果至少去一个就去掉常数项。

封闭形式#

我们在实际运用中,直接做形式幂级数的形式十分不方便。我们可不可以找到一个简洁的形式使其脱离多项式,尤其是项数 的时候。

我们拿 [1,1,1,][1,1,1,] 的生成函数 F(x)=i0xiF(x)=i0xi 来举例:

F(x)x+1=F(x)F(x)=11xF(x)x+1=F(x)F(x)=11x

或者直接使用等比数列求和公式可以得到:

F(x):=ni=0xiF(x)=1xn1x

n 时,xn0

亦或者等比数列 [1,a,a2,a3,] 的生成函数 F(x)=i0aixi

F(x)ax+1=F(x)F(x)=11ax

这里列举一些:

i0xi=11xi0aixi=11axi0x2i=11x2i0(i+1)xi=1(1x)2

我们一般先将初始的几个函数转成封闭形式,乘起来后再转回开放形式得到答案。

指数生成函数#

普通生成函数可以用来解决组合问题,而指数生成函数可以用来解决排列问题。

多重集排列数#

多重集是指包含重复元素的广义集合。我们设 S=a1n1,a2n2,,annn,则 S 的全排列个数为 n!a1!a2!an!

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