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团计数 挑战 #P-Complete (bushi 有好几种做法。 枚举 + 折半 + 高维前缀和 应该要预处理邻域，状压一下。 考虑枚举编号最小的点 \(i\)，把剩下的 \(n-i\) 个点均分为 \(A\) 和 \(B\) 集合，分别用 \(O(2^{|S|})\) 的搜索搞出来所有的团。 考 阅读全文
posted @ 2024-12-23 20:11
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有各种分治：CDQ分治，树上分治，数据结构上分治，根号分治，etc. 普通分治 求逆序对 用归并排序求逆序对。 Sol： 其实逆序对是在归并排序时顺带求的，主要是归并排序。 我们要对区间\([l,r]\)从小到大排序，先对\([l,mid],[mid+1,r]\)排序（这一步体现分治思想）。 现在考 阅读全文
posted @ 2024-12-23 19:34
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该文被密码保护。 阅读全文
posted @ 2024-12-23 19:29
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一些数具有特殊的意义，或是特殊的性质。 错排数 记作\(d_n\)。 如何求？ 容斥做法 \[d_n=n!-\sum\limits_{1\le k\le n}(-1)^{k-1}\dbinom{n}{k}(n-k)!=n!\sum\limits_{0\le k\le n}(-1)^k\dfrac{1 阅读全文
posted @ 2024-12-23 18:58
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二项式系数具有很多优美的性质，在OI中也经常出现。 基础部分 一些记号 \(\dbinom rk\)：组合数/广义组合数。 \(n^{\underline m}\)：\(n\)的\(m\)次下降幂。 \(n^{\overline m}\)：\(n\)的\(m\)次上升幂。 常见的柿子 下降幂和上升幂 阅读全文
posted @ 2024-12-23 18:57
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OI中全是整除，于是整值函数具有重要的作用。 阅读全文
posted @ 2024-12-23 18:55
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OI需要大力处理和式的能力。 记号 求和符号 包含上下限和表达式，一般而言，\(\sum\limits_{\texttt{lower}}^{\texttt{upper}} \texttt{expression}\)。 尽量使用 \(k\) 作为式子中的变量，防止 \(i\) 写错 / 看错 / 引起 阅读全文
posted @ 2024-12-23 18:54
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《Concrete Mathematics》 Chapter 1. OI中递归的东西见的确实挺多的。 阅读全文
posted @ 2024-12-23 18:52
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概率和期望不得不说的故事。 还是要了解一些概率和期望的基本性质。 以下大多数抄的OIwiki。 样本空间、随机事件 定义 定义样本点：一个随机现象中可能发生的不能再细分的结果。 定义样本空间：所有样本点的集合。通常用\(\Omega\)表示。 定义一个随机事件：是\(\Omega\)的一个子集，由若 阅读全文
posted @ 2024-12-23 17:28
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不知道以后这里是不是只有Lagrange插值。很大概率是的。 Lagrange插值 给出\(n\)个点\((x_i,y_i)\)，求确定的\(n-1\)次多项式。 Sol： 利用点值的可加性，先构造出\(n\)个\(F_i(x)\)使之满足在\(x=x_i\)处取\(y_i\)，在\(x\ne x_ 阅读全文
posted @ 2024-12-23 17:22
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对OI使用计数吧！（碰拳）（阿格尼笑） 除了数学的纯粹力量之外，还需要DP和多项式的辅助。 数学基础 加法原理，乘法原理，排列组合。 容斥和计数DP 容斥技巧 容斥+计数的练习 反演 自个儿写的炫酷反演魔术 生成函数 生成函数 / 形式幂级数 / 集合幂级数 Pólya和Burnside 浅谈抽象代 阅读全文
posted @ 2024-12-23 17:17
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不得不整理数学了，感觉学了很多，但又没学很多。 递归问题 递归问题 和式 和式 整值函数 整值函数 数论 数论 二项式系数 二项式系数 特殊的数 特殊的数 生成函数 生成函数 离散概率 概率期望 渐进式 暂时咕咕咕。 阅读全文
posted @ 2024-12-23 17:07
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多项式科技 多项式全家桶 处理多项式的一些套路 高等数学 高等数学 数值算法 各种数值算法 线性代数 线性代数 数论相关技术 数论 组合数学 组合数学 组合优化 具体数学 具体数学 计数问题 计数！计数！ 概率统计 概率和期望不得不说的故事 渐进估计 Master Theorem 抽象代数 浅谈抽象 阅读全文
posted @ 2024-12-23 16:54
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这里可能包括但不限于树套树。 总之是一棵树上每个结点又套了点别的什么东西。 拜谢lxl 坑开在这儿了，以后填吧。 代码复杂度比较高，建议想明白了再开始敲。 可以用来动态维护二维平面上的信息。 结构是DAG，一般不支持标记下方。但是可以标记永久化。 BIT套树 最好写的。但是也难写。 BIT套平衡树可 阅读全文
posted @ 2024-12-23 16:32
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咕咕咕。 学会了一点了。 KDT维护了\(k\)维空间中的超长方体。每个结点及其子树都在同一超长方体中。 KDT的实现与平衡树类似（其实在\(k=1\)时就是另类的平衡树，只不过不太优秀）。树上的每个结点都对应着\(k\)维空间中的一个点。然后随便维护一下信息就可以支持\(k\)维超长方体查询信息了 阅读全文
posted @ 2024-12-23 16:27
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从BST引入。 我们要高效查找一个值，那么在保证左儿子小于右儿子的二叉树上跳，期望\(O(d)\)，\(d\)为深度。 二叉搜索树BST 最好\(O(\log n)\)，最坏\(O(n)\)。 左子树的权值小于根的权值小于右子树的权值。 P用没有。 替罪羊树 是一种依靠重构来维持平衡的重量平衡树。在 阅读全文
posted @ 2024-12-23 16:09
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来解决树上DS问题。 因为没有能够直接高效维护树型结构的DS，于是把树剖分成链，然后拿序列上的DS去维护每一条链的信息。 树链剖分有很多种：轻重链剖分，长链剖分，虚实链剖分。 轻重链剖分 这里是轻重链剖分。常数很小。 其实不一定要用线段树维护，但用线段树维护是最常见的。 支持换根，路径修改，路径查询 阅读全文
posted @ 2024-12-23 16:05
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一大波线段树和树状数组预警。 树状数组基础部分 Binary Indexed Tree.BIT 线段树可以实现树状数组所有功能，但树状数组简单易写常数小。 树状数组利用了二进制数的特性，很精巧。 注意到一件事，若将当前点下标从低到高第一个\(1\)记作\(k\)，那么当前点的范围即包含当前点的前面长 阅读全文
posted @ 2024-12-23 15:18
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典型的是字符串Trie，但是那是字符串里该讲的。 但是结构还是类似的。 01Trie 将一个二进制数插入到Trie中，每条边代表着\(0/1\)。 建树可以从高位到低位，也可以从低位到高位。看题目需要。 维护异或极值 从高位到低位建树。 对于一个数，考虑当前二进制位上的数字，尽量往相反的方向跳，跳了 阅读全文
posted @ 2024-12-23 15:07
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线性的基本数据结构 栈 先进后出，没啥好讲的，主要是应用。 关于表达式 栈可以做表达式相关的问题。 几个名词： 逆波兰式是后缀表达式，波兰式是前缀表达式。 后缀表达式求值 可以用栈做到\(O(n)\)。 建立一个栈，储存表达式中的数字。 2.从前往后扫后缀表达式。遇到数字就入栈，遇到运算符就从栈中取 阅读全文
posted @ 2024-12-23 14:45
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posted @ 2024-12-23 11:46
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基础部分 最大流 Dinic 板子 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; using i64=long long; constexpr int maxn=210,maxm=5e3+10,inf=0x7fffffff; int n,m,S,T; in 阅读全文
posted @ 2024-12-23 11:32
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Bipartite Graph. 无特殊说明时，\(n\)为点数，\(m\)为边数。 基础部分 定义和判定 点集可以分成两个集合，任意一个集合内部没有边。 性质：没有奇环。这是充要条件。用这个来\(O(n+m)\)来判定二分图。 二分图最大匹配 P3386 【模板】二分图最大匹配 可Dinic\(O 阅读全文
posted @ 2024-12-23 11:25
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参考tzc_wk的博客 前缀优化建图 适用形式： 从\(x\)向\([1,i]\)连边。 从\(x\)向\([i,n]\)连边。 从\([1,x]\)向\([y,n]\)连边。 考虑建\(n\)个虚点\(s_i\)和\(n\)个虚点\(p_i\)。\(s_i\)代表\([1,i]\)的前缀，\(p_ 阅读全文
posted @ 2024-12-23 11:22
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基础部分 有K-Satisfiability问题，但\(k\ge 2\)时那是NPC的，\(k=1\)时是trivial的，所以讨论2-Satisfiability。 问题是这样的：\(n\)个bool变量，\(m\)个限制条件，每个限制会给出对于两个bool变量之间关系的描述，如\(a_i\lor 阅读全文
posted @ 2024-12-23 11:20
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大量誊抄 2023 年集训队论文。轻喷。 一些定义、定理 基础知识。 点 / 边割集 对与 \(u,v\in V\)，若 \(S\subseteq V\) 满足 \(u,v\not\in S\)，且 \(G[V\setminus S]\) 中 \(u,v\) 不连通，那么称 \(S\) 是 \(u, 阅读全文
posted @ 2024-12-23 11:04
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拓扑排序 概念： DAG：有向无环图。 拓扑排序可以对一张DAG上的顶点排序。 流程： 最初将入度为\(0\)的点加入队列。 每次从队列中取出一个点，删去这个点的所有出边，将新产生的入度为\(0\)的点加入队列。这样按入队的先后顺序就把顶点排好序了。 \(O(n+m)\)。 拓扑排序在后的点只依赖于 阅读全文
posted @ 2024-12-23 10:59
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基础部分 概念： 欧拉回路：经过每条边恰好一次的回路（回到起点）。 欧拉通路：经过每条边恰好一次的通路（不回起点）。 欧拉图：具有欧拉回路的图。 半欧拉图：不具有欧拉回路，但具有欧拉通路的图。 有向图强连通：任意两个顶点都可以通过有向边相互到达。 有向图弱连通：将有向边换成无向边后，任意两个顶点连通 阅读全文
posted @ 2024-12-23 10:55
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注意只有连通图才有生成树，图不连通就只有生成森林。 无向图最小生成树 都利用了贪心的思想。一些看似不是最小生成树的问题想想贪心的话或许能化归过来。 Kruskal 基本思想是按边权从小到大加边，是贪心思想。 时间复杂度\(O(m\log m)\)。 板子 sort(e+1,e+tot+1,cmp); 阅读全文
posted @ 2024-12-23 10:49
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差分约束 用于求有\(n\)个变量，\(m\)条限制，每条限制只与两个变量的差有关的问题的一组解。 一般可以转化为最短路或者最长路解决。 最短路：用三角形不等式\(dis_v\le dis_u+w\)来保证解合法，这样一条不等式等价于\(x_v\le x_u+w\)。 最长路：类似最短路，用\(di 阅读全文
posted @ 2024-12-23 10:44
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板子是一定要记的，但不够，全是思维题，要解放思想开动脑筋。 板子 Floyd 是全源最短路。 只要最短路存在（无负环），不管有向无向，边权正负，都可以用。 板子 for(int k=1;k<=n;++k){ for(int i=1;i<=n;++i){ for(int j=1;j<=n;++j) d 阅读全文
posted @ 2024-12-23 10:42
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