各种数值算法

不知道以后这里是不是只有Lagrange插值。很大概率是的。

Lagrange插值

给出\(n\)个点\((x_i,y_i)\)，求确定的\(n-1\)次多项式。

Sol：

利用点值的可加性，先构造出\(n\)个\(F_i(x)\)使之满足在\(x=x_i\)处取\(y_i\)，在\(x\ne x_i\)处取\(0\)，最终\(F(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}F_i(x)\)。（中国剩余定理运用了类似的思想。实际上将中国剩余定理拓展到多项式中便是Lagrange插值。）

考虑构造\(F_i(x)\)。为了使\(F_i(x_j)=0\)（\(j\ne i\)），\(F_i(x)\)中应含有因式\(\prod\limits_{j\ne i}(x-x_j)\)，但此时\(F_i(x_i)\)不一定等于\(y_i\)，要调整\(F_i(x)\)系数，乘上\(\frac{y_i}{F_i(x_i)}\)即可。

得到：\(F_i(x)=y_i\prod\limits_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\)

于是\(F(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}y_i\prod\limits_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\)

求原函数或点值\(O(n^2)\)。

一些拓展

连续取值插值

当\(x_i\)的取值连续时可以快速单点插值。这里以\(x_i=i\)为例。

\[F(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}y_i\prod\limits_{j\ne i}\frac{x-j}{i-j} \]

分子为\(\prod\limits_{i=0}^{n-1}(x-i)\)挖去一项，经典维护前后缀积，设\(p_i=\prod\limits_{j=0}^{i-1}(x-j),s_i=\prod\limits_{j=i+1}^{n-1}(x-j)\)。

分母对于\(i>j\)，\(\prod\limits_{j=0}^{i-1}(i-j)=i!\)，对于\(i<j\)，\(\prod\limits_{j=i+1}^{n-1}(i-j)=(-1)(-2)\dots(i-n+1)=(-1)^{n-i-1}(n-i-1)!\)

于是\(F(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}y_i\frac{p_is_i}{i!(-1)^{n-i-1}(n-i-1)!}\)。

预处理一下，\(O(n)\)。

求连续自然数幂和

求\(\sum\limits_{i=1}^ni^k\)

Sol：

有第二类斯特林数的做法。

注意到每一项可以看做一个\(k\)次多项式，那么前缀和就是一个\(k+1\)次多项式。（由于前缀和与差分互逆，一个\(k+1\)次多项式差分会得到一个\(k\)次多项式即证明了该结论。）

那么求出前缀和的\(k+2\)项，然后对前缀和插值就做完了。

重心Lagrange插值

普通插值计算的过程有很多重复，考虑化简式子：

\[\begin{aligned} F(x)&=\sum\limits_{i=0}^{n-1}y_i\prod\limits_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\\ &=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\prod\limits_{j\ne i}(x-x_j)\prod\limits_{j\ne i}\frac{y_i}{x_i-x_j}\\ &=\prod(x-x_j)(\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{y_i}{\prod\limits_{j\ne i}(x_i-x_j)}\cdot\frac{1}{x-x_i}) \end{aligned} \]

令\(P(x)=\prod(x-x_j),w_i=\frac{y_i}{\prod\limits_{j\ne i}(x_i-x_j)}\)，那么：

\[F(x)=P(x)\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{w_i}{x-x_i} \]

预处理和求原函数\(O(n^2)\)，求点值\(O(n)\)。

牛顿插值

感觉没什么用。上 oi-wiki 看。

自适应辛普森法

用于求积分。