特殊的数

一些数具有特殊的意义，或是特殊的性质。

错排数

记作\(d_n\)。

如何求？

容斥做法

\[d_n=n!-\sum\limits_{1\le k\le n}(-1)^{k-1}\dbinom{n}{k}(n-k)!=n!\sum\limits_{0\le k\le n}(-1)^k\dfrac{1}{k!} \]

递推做法

考虑置换环中：

• \(n\)所在环的大小\(=2\)，那么剩下\(n-2\)个数要是错拍，于是贡献\((n-1)d_{n-2}\)。

• \(n\)所在环的大小\(\ge 3\)，那么\(n\)插入之前就应该是错排，一共\(n-1\)个位置可以插入，于是贡献\((n-1)d_{n-1}\)

综上，\(d_n=(n-1)(d_{n-1}+d_{n-2})\)。

卡特兰数（\(Catalan\ Number\)）

以下记作\(h_n\)。

这个数字是很多计数问题的答案，如：

• 网格图上从\((0,0)\)走到\((n,n)\)，不得经过\(y=x\)的方案数。

• 在圆上任取\(2n\)个点，连出\(n\)条线段且两两不交的方案数。

• 进栈序列为\(1,2,\dots ,n\)的栈的出栈序列的方案数。

• \(n\)对括号所能组成的合法括号序列数。

• \(n\)个节点构成二叉树的方案数。

递推式：

\[\begin{aligned} h_n&=\begin{cases} \sum\limits_{0\le k<n} h_kh_{n-k-1} & n\ge 2\\ 1 & n=0,1\\ \end{cases}\\ &=\dbinom{2n}{n}-\dbinom{2n}{n-1} \end{aligned} \]

顺带把通项写了。

\[h_n=\dbinom{2n}{n}-\dbinom{2n}{n-1}=\dfrac{\dbinom{2n}{n}}{n+1} \]

另一个递推式：

\[h_n=\dfrac{4n-2}{n+1}h_{n-1} \]

证明一下通项：

考虑\(h_n\)的OGF为\(H\)，由第一种递推式可以整理出\(H=1+xH^2\)。

解得\(H=\dfrac{1\pm \sqrt{1-4x}}{2x}=\dfrac{2}{1\mp \sqrt{1-4x}}\)。由\(H(0)=h_0=1\)可知要取\(H=\dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\)

然后拿二项式定理展开\(\sqrt{1-4x}\)即可。

斐波那契数（\(Fibonacci\ Number\)）

斯特林数（\(Stirling\ Number\)）

第二类斯特林数

这里先介绍第二类斯特林数（因为它更常用）。

第二类斯特林数：\(n \brace m\)，表示将\(n\)个不同物品划分入\(m\)个相同（无标号）非空集合中构成簇（元素为集合的集合）的方案数。

考虑第\(n\)个元素，我们得到了它的递推式和通项公式。

\[{n\brace m}={n-1\brace m-1}+m{n-1\brace m} \]

（考虑组合意义，要么第\(n\)个元素单独构成一个集合，要么第\(n\)个元素选择前\(m\)个集合中的一个插入。）

边界为\({n\brace 0}=[n=0]\)

以及，

\[{n \brace m}=\sum \limits_{i=0}^m (-1)^{m-i}\frac{i^n}{(m-i)!i!} \]

观察通项公式的特点，令\(f_i=\frac{i^n}{i!},g_{m-i}=\frac{(-1)^{m-i}}{(m-i)!}\)，则有：

\[{n\brace m}=\sum\limits_{i=0}^mf_ig_{m-i} \]

后面是卷积的形式，可以用\(\mathrm{NTT}\)优化到\(O(m\log m)\)求出一整行(一行指：\(n\brace i\)中，\(n\)相同，\(i=0\dots m\))。

特殊值

• \({n\brace 0}=[n=0]\)

• \({n\brace 1}={n\brace n}=1(n>0)\)

• \({n\brace 2}=2^{n-1}-1(n>0)\)

• \({n\brace n-1}=\dbinom n2\)

生成函数

用\(x\)标识元素个数，\(y\)标识无序集合个数。元素是带标号的，于是无序集合也可以认为带标号（因为其中每个组分带标号）。那么一个元素对应的生成函数就是\(F(x)=x\)。使用有标号\(\text{SET}\)构造来构造出放入一个集合中的元素，由于集合非空，需要去掉空集，再用\(y\)标识无序集合个数，可知一个无序集合的生成函数为\(y(e^x-1)\)。

再次对无序集合使用有标号\(\text{SET}\)构造，可知第二类斯特林数的二元生成函数为\(e^{y(e^x-1)}\)。

其中在\(x\)上是EGF，在\(y\)上是OGF。分别提取\(\Big[\dfrac{x^n}{n!}\Big]\)和\([y^m]\)系数即可得到一行和一列的生成函数。

“在\(x\)上是EGF，在\(y\)上是OGF”，这是为什么？口胡了一个解释是集合本来是无标号的，是有标号的元素作为组分使得它可以当成有标号的。于是标识有标号元素的\(x\)对应的应当是EGF，而标识无标号集合的\(y\)对应的应当是OGF。

和高阶差分的关系

第一类斯特林数

\({n\brack k}\)表示将\(n\)个元素分成\(k\)个轮换的方案数，也即\(n!\)个排列中，有\(k\)个置换环的方案数。

特殊值

• \({n\brack 0}=[n=0]\)

• \({n\brack n}=1(n>0)\)

• \({n\brack 1}=(n-1)!(n>0)\)

• \({n\brack n-1}=\dbinom{n}{2}\)

不等式

由定义易知\({n\brack k}\ge{n\brace k}\)，当且仅当每个轮换至多有\(2\)个元素时等号成立，即\(k=n-1,n\)。

递推式

\[{n\brack k}=(n-1){n-1\brack k}+{n-1\brack k-1} \]

即考虑第\(n\)个元素的决策，放在以有的\(k\)个轮换中的一个，有\(n-1\)个位置可以放，或者自己成为一个轮换。

生成函数

一行之和

\[\sum\limits_{0\le k\le n}{n\brack k}=n! \]

由定义可知。

普通幂转下降幂

\[x^n=\sum\limits_{0\le k\le n}{n\brace k}x^{\underline k}=\sum\limits_{0\le k\le n}{n\brace k}{x\choose k}k! \]

证明一：

考虑组合意义。左边相当于将\(k\)个元素放入\(x\)个有标号集合中（集合可以为空）。

右边\(i\)相当于枚举非空集合个数，\({x\choose i}\)表示从\(x\)个集合中选出\(i\)个集合使之非空，\(k\brace i\)表示将\(k\)个元素划分到\(i\)个无标号非空集合中的方案数。由于\(x\choose i\)和\(k\brace i\)的集合都无标号，最后乘上\(i!\)让集合有标号。

那么左右两边的组合意义相同，所以相等。

证明二：

一个重要的观察是：\(x^{\underline{k+1}}=x^{\underline k}(x-k)\Rightarrow x\cdot x^{\underline k}=x^{\underline{k+1}}+k\cdot x^{\underline k}\)

于是用数学归纳法和第二类斯特林数的加法公式可以证。

上升幂转普通幂

\[x^{\overline n}=\sum\limits_{0\le k\le n}{n\brack k}x^k \]

观察：\(x^{\overline{k+1}}=(x+k)x^{\overline k}\)，且\((x+n-1)x^k=x^{k+1}+(n-1)\cdot x^k\)

下降幂转普通幂

\[x^{\underline n}=\sum\limits_{0\le k\le n}(-1)^{n-k}{n\brack k}x^k \]

注意到上升幂和下降幂有相反的符号即可得到。

普通幂转上升幂

\[x^n=\sum\limits_{0\le k\le n}(-1)^{n-k}{n\brace k}x^{\overline k} \]

注意到\((-x)^{\underline n}=(-1)^nx^{\overline n}\)，将\(-x\)代入普通幂转下降幂，然后用注意到的式子即可得到。