优化建图相关技术

参考tzc_wk的博客

前缀优化建图

适用形式：

1. 从\(x\)向\([1,i]\)连边。

2. 从\(x\)向\([i,n]\)连边。

3. 从\([1,x]\)向\([y,n]\)连边。

考虑建\(n\)个虚点\(s_i\)和\(n\)个虚点\(p_i\)。\(s_i\)代表\([1,i]\)的前缀，\(p_i\)代表\([i,n]\)的后缀。

我们连边\(i\to s_i\)，\(s_i\to s_{i+1}\)，\(p_i\to i\)，\(p_i\to p_{i+1}\)。

对于操作\(1\)，\(s_i\to x\)。

对于操作\(2\)，\(x\to p_i\)。

对于操作\(3\)，\(s_x\to p_y\)。

对于树上对一端为根的链连边，直接建内向树，然后连就好了。

线段树优化建图

适用形式：

1. 从\(x\)向\([l,r]\)连边。

2. 从\([l,r]\)向\(x\)连边。

3. 从\([l_1,r_1]\)向\([l_2,r_2]\)连边。

建两棵线段树。一棵父亲向儿子连边，叶子向对应节点连边。另一棵儿子向父亲连边，对应节点向叶子节点连边。不妨分别称为内向树和外向树。

对于操作\(1\)，从\(x\)向外向树上的对应\(\log n\)个点连边。

对于操作\(2\)，从内向树上的对应\(\log n\)个点向\(x\)连边。

对于操作\(3\)，新建一个虚点\(p\)，从\([l_1,r_1]\)向\(p\)连边，\(p\)向\([l_2,r_2]\)连边，这样与原问题是等价的。

CDQ分治优化建图

主席树优化建图

树套树优化建图