和式

OI需要大力处理和式的能力。

记号

求和符号

包含上下限和表达式，一般而言，\(\sum\limits_{\texttt{lower}}^{\texttt{upper}} \texttt{expression}\)。

尽量使用 \(k\) 作为式子中的变量，防止 \(i\) 写错 / 看错 / 引起歧义。

没有歧义时也能用 \(i,j\) 之类的。其实一般都没有歧义。

艾弗森括号

\(P\) 是一个命题，\(P\) 为真时 \([P]=1\)，否则 \([P]=0\)。

可以用它来简化上下限，规定 \(\texttt{expression}\) 无意义时，若 \([P]=0\)，则与之相乘的 \(\texttt{expression}\) 为 \(0\)。

可以进行一些容斥，类似于区间之间的包含等等，或许可以说就是容斥原理（？）。

例子：\([L\le k\le R]=[k\ge L]+[k\le R]-1\)。

小技巧

式子中需要变量代换时，将式子写成 \(\sum\limits_{L<k<R}f(k)\) 的形式可以很方便地进行变量代换，只需 \(\sum\limits_{L<k+1<R}f(k+1)\) 直接换即可。\(k\) 的新范围通过下方的不等式解出来。

扰动法

将整个和式视作关于某个和式中的常量的递推式，不妨记作 \(f_n\)。

通过将整个和式的第一项 / 最后一项单独提出来，再将剩下的做下标代换凑出 \(f_{1,2,\cdots n-1}\) 的形式，就可以得到一个递推式。

离散微积分

微积分在离散情况下的模拟。

下降幂