【XSY2730】Ball 多项式exp 多项式ln 多项式开根 常系数线性递推 DP

题目大意

　　一行有\(n\)个球，现在将这些球分成\(k\) 组，每组可以有一个球或相邻两个球。一个球只能在至多一个组中（可以不在任何组中）。求对于\(1\leq k\leq m\)的所有\(k\)分别有多少种分组方法。

　　答案对\(998244353\)取模。

　　\(n\leq {10}^9,m<2^{19}\)

题解

　　因为\(k>n\)的项都是\(0\)，所以我们钦定\(m\leq n\)

　　考虑DP。

　　记\(f_{i,j}\)为前\(i\)个球分为\(j\)组的方案数。

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}+f_{i-2,j-1} \]

　　直接做是\(O(nm)\)的。

　　如果把\(f_i\)看成一个多项式，即

\[F_i(x)=\sum_{j\geq 0}f_{i,j}x^j \]

　　那么转移就变成了

\[F_i(x)=(1+x)F_{i-1}(x)+xF_{i-2}(x) \]

　　这是一个常系数齐次线性递推，用FFT优化可以做到\(O(m\log m\log n)\)

　　考虑怎么求一个常系数齐次线性递推关系的通项公式。

　　先求出这个转移矩阵的特征多项式：

\[\lambda^2-(1+x)\lambda-x \]

　　特征值为

\[\begin{align} \lambda_1&=\frac{1+x+\sqrt{x^2+6x+1}}{2}\\ \lambda_2&=\frac{1+x-\sqrt{x^2+6x+1}}{2} \end{align} \]

　　我们钦定\(F_{-1}(x)=0\)，设

\[F_i(x)=c_1{\lambda_1}^{i+1}+c_2{\lambda_2}^{i+1} \]

　　带入\(F_{-1}(x),F_0(x)\)得

\[\begin{cases} c_1&+c2&=0\\ c_2\lambda_1&+c_2\lambda_2&=1 \end{cases} \]

　　解得

\[\begin{cases} c_1&=\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}\\ c_2&=\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1} \end{cases} \]

　　于是

\[F_i(x)=\frac{{\lambda_1}^{i+1}-{\lambda_2}^{i+1}}{\lambda_1-\lambda_2} \]

　　直接用多项式开根求出\(\lambda_1,\lambda_2\)，然后用多项式\(\ln \exp\)求出\(F_n(x)\)

　　时间复杂度：\(O(m\log m)\)

　　小优化：因为\([x^0]\lambda_2=0\)，所以\(\lambda_2\)的前\(n+1\)项都是\(0\)。因为\(m\leq n\)，所以

\[{\lambda_2}^{n+1}\equiv 0 \pmod {x^{m+1}} \]

　　所以我们不用计算\({\lambda_2}^{n+1}\)了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=300000;
const ll p=998244353;
const ll g=3;
const ll inv2=(p+1)/2;
ll fp(ll a,ll b)
{
	ll s=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
		if(b&1)
			s=s*a%p;
	return s;
}
int rev[maxn];
ll w1[maxn];
ll w2[maxn];
void ntt(ll *a,int n,int t)
{
	int i,j,k;
	ll u,v,w,wn;
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
		if(rev[i]>i)
			swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(i=2;i<=n;i<<=1)
	{
		wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);
		for(j=0;j<n;j+=i)
		{
			w=1;
			for(k=j;k<j+i/2;k++)
			{
				u=a[k];
				v=a[k+i/2]*w%p;
				a[k]=(u+v)%p;
				a[k+i/2]=(u-v)%p;
				w=w*wn%p;
			}
		}
	}
	if(t==-1)
	{
		ll inv=fp(n,p-2);
		for(i=0;i<n;i++)
			a[i]=a[i]*inv%p;
	}
}
void getinv(ll *a,ll *b,int n)
{
	if(n==1)
	{
		b[0]=fp(a[0],p-2);
		return;
	}
	getinv(a,b,n>>1);
	static ll a1[maxn],a2[maxn];
	int i;
	for(i=0;i<n;i++)
		a1[i]=a[i];
	for(;i<n<<1;i++)
		a1[i]=0;
	for(i=0;i<n>>1;i++)
		a2[i]=b[i];
	for(;i<n<<1;i++)
		a2[i]=0;
	ntt(a1,n<<1,1);
	ntt(a2,n<<1,1);
	for(i=0;i<n<<1;i++)
		a1[i]=a2[i]*((2-a1[i]*a2[i])%p)%p;
	ntt(a1,n<<1,-1);
	for(i=0;i<n;i++)
		b[i]=a1[i];
}
void getsqrt(ll *a,ll *b,int n)
{
	if(n==1)
	{
		b[0]=1;
		return;
	}
	getsqrt(a,b,n>>1);
	static ll a1[maxn],a2[maxn],a3[maxn];
	int i;
	for(i=0;i<n>>1;i++)
		a1[i]=b[i];
	for(;i<n<<1;i++)
		a1[i]=0;
	for(i=0;i<n;i++)
		a2[i]=a[i];
	for(;i<n<<1;i++)
		a2[i]=0;
	getinv(a1,a3,n);
	ntt(a2,n<<1,1);
	ntt(a3,n<<1,1);
	for(i=0;i<n<<1;i++)
		a2[i]=a2[i]*a3[i]%p;
	ntt(a2,n<<1,-1);
	for(i=0;i<n;i++)
		b[i]=(a1[i]+a2[i])%p*inv2%p;
}
void getln(ll *a,ll *b,int n)
{
	static ll inv[maxn],a1[maxn],a2[maxn];
	int i;
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(i=2;i<n;i++)
		inv[i]=-p/i*inv[p%i]%p;
	for(i=1;i<n;i++)
		a1[i-1]=a[i]*i%p;
	a1[n-1]=0;
	getinv(a,a2,n);
	for(i=n;i<n<<1;i++)
		a1[i]=a2[i]=0;
	ntt(a1,n<<1,1);
	ntt(a2,n<<1,1);
	for(i=0;i<n<<1;i++)
		a1[i]=a1[i]*a2[i]%p;
	ntt(a1,n<<1,-1);
	for(i=1;i<n;i++)
		b[i]=a1[i-1]*inv[i]%p;
	b[0]=0;
}
void getexp(ll *a,ll *b,int n)
{
	if(n==1)
	{
		b[0]=1;
		return;
	}
	getexp(a,b,n>>1);
	int i;
	for(i=n>>1;i<n;i++)
		b[i]=0;
	static ll a1[maxn],a2[maxn],a3[maxn];
	getln(b,a1,n);
	for(i=0;i<n>>1;i++)
	{
		a2[i]=b[i];
		a3[i]=a[i+(n>>1)]-a1[i+(n>>1)];
	}
	for(;i<n;i++)
		a2[i]=a3[i]=0;
	ntt(a2,n,1);
	ntt(a3,n,1);
	for(i=0;i<n;i++)
		a2[i]=a2[i]*a3[i]%p;
	ntt(a2,n,-1);
	for(i=0;i<n>>1;i++)
		b[i+(n>>1)]=a2[i];
}
ll a[maxn];
ll b[maxn];
ll c[maxn];
ll d[maxn];
ll e[maxn];
int n,m;
int k;
void solve()
{
	k=1;
	while(k<=m)
		k<<=1;
	int i;
	for(i=2;i<=k<<1;i++)
	{
		w1[i]=fp(g,(p-1)/i);
		w2[i]=fp(w1[i],p-2);
	}
	d[0]=1;
	d[1]=6;
	d[2]=1;
	getsqrt(d,c,k);
	for(i=0;i<k;i++)
		a[i]=c[i];
	a[0]++;
	a[1]++;
	for(i=0;i<k;i++)
		a[i]=a[i]*inv2%p;
	getinv(c,b,k);
	getln(a,e,k);
	for(i=0;i<k;i++)
		e[i]=e[i]*(n+1)%p;
	getexp(e,a,k);
	for(i=k;i<k<<1;i++)
		a[i]=b[i]=0;
	ntt(a,k<<1,1);
	ntt(b,k<<1,1);
	for(i=0;i<k<<1;i++)
		a[i]=a[i]*b[i]%p;
	ntt(a,k<<1,-1);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		a[i]=(a[i]+p)%p;
		printf("%lld ",a[i]);
	}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("b.in","r",stdin);
	freopen("b.out","w",stdout);
#endif
	int x=0;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if(m>n)
	{
		x=m-n;
		m=n;
	}
	solve();
	while(x--)
		printf("0 ");
	return 0;
}