07 2025 档案

摘要：前置知识 数论分块（整除分块） 洛谷 P2261 给定整数 \(n, k\)，计算 \(ans = \sum\limits_{i = 1}^ n k \% i\)。 \(ans = kn - \sum\limits_{i = 1}^n k \lfloor \frac{k}{i} \rfloor\)， 阅读全文

摘要：定义域为正整数、值域是复数的子集的函数称为数论函数。 OI 中研究的数论函数的值一般也是整数。 积性函数 定义 设 \(f\) 是数论函数，若对任意互质的正整数 \(a, b\)，都有 \(f(ab) = f(a)f(b)\)，则称 \(f\) 是积性函数。 若对任意的正整数 \(a, b\)，都有 阅读全文

摘要：前置知识：Mobius 反演 令 \(f\) 为数论函数，杜教筛可以在 \(O(n^{\frac{2}{3}})\) 的时间内求出 \(S(n) = \sum\limits_{i = 1}^n f(i)\)。 求解过程 模板：洛谷 P4213 因为 \(f\) 不好求，首先我们要找到好求的 \(g\ 阅读全文

摘要：前置知识：CRT，exgcd。 Lucas 定理 洛谷 P3807 证明见 oi-wiki Lucas 定理：\(C_{n}^{m} = C_{n / p}^{m / p} \cdot C_{n \% p}^{m \% p} \pmod p\)，其中 \(p\) 为质数。一般适用于 \(p\) 较小 阅读全文

摘要：前置知识：exgcd 解决的问题 中国剩余定理（CRT）可求解如下形式的一元线性同余方程组（\(a_1, a_2, \dots a_k\) 两两互质）： \[\begin{cases} x &\equiv b_1 \pmod {a_1} \\ x &\equiv b_2 \pmod {a_2} \\ 阅读全文

摘要：欧几里得算法（辗转相除法） \(\gcd(a,b) = \gcd(b, a\%b)\)，当 \(b = 0\) 时为 0。 补充（更相减损术）：当 \(b > a\) 时，\(\gcd(a,b) = (b - a > a \ ?\ \gcd(a, b - a) : \gcd(b - a, a))\) 阅读全文

摘要：比赛 A,B,C 都比较简单，略过。 D 题，一眼一个 SG 函数，对于每个正整数求出 SG 后，异或一下即可。可是忘记怎么求欧拉函数了，手推 \(20min\) 才推出来。 E 题没啥想法，看到 \(40\) 分的 \(a < p\)，输出 \(-1\) 和 \(\min((2p + a) \op 阅读全文