中国剩余定理（CRT）

前置知识：exgcd

解决的问题

中国剩余定理（CRT）可求解如下形式的一元线性同余方程组（\(a_1, a_2, \dots a_k\) 两两互质）：

\[\begin{cases} x &\equiv b_1 \pmod {a_1} \\ x &\equiv b_2 \pmod {a_2} \\ &\vdots \\ x &\equiv b_k \pmod {a_k} \end{cases} \]

过程

令 \(m = \prod a_i\) 为所有模数的积。

对于每个方程\(i\)，设 \(m_i = \frac{m}{a_i}\), \(t_i = m_i^{-1} \pmod {a_i}\)。

方程组的唯一解 \(x \equiv \sum\limits_{i= 1}^k b_i \cdot m_i \cdot t_i \pmod m\)。

注意： 求逆元需要用 exgcd。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
  ll x, y; exgcd(m / a[i], a[i], x, y);
  ans = ((__int128)m / a[i] * x * b[i] + ans) % m;
}

证明

对于 \(\forall i\)，\(m_i \cdot t_i \equiv 1 \pmod {a_i}\)，即 \(b_i \cdot m_i \cdot t_i \equiv b_i \pmod {a_i}\)。而对于 \(\forall j \ne i\)，\(a_i \mid m_j\)，所以 \(b_j \cdot m_j \cdot t_j \equiv 0 \pmod {a_i}\)。所以 \(x \equiv b_i \pmod {a_i}\)。

且若 \(x, y\) 只模 \(m\) 意义下不同，总存在 \(i\)，使得 \(x, y\) 在模 \(a_i\) 意义下不同余。所以方程在模 \(m\) 意义下有唯一解。