exgcd 与裴蜀定理

欧几里得算法（辗转相除法）

\(\gcd(a,b) = \gcd(b, a\%b)\)，当 \(b = 0\) 时为 0。

补充（更相减损术）：当 \(b > a\) 时，\(\gcd(a,b) = (b - a > a \ ?\ \gcd(a, b - a) : \gcd(b - a, a))\)。

可以递归求解 \(\gcd\)，也可以循环求：

int gcd(int a, int b) {
  return (b ? gcd(b, a % b) : a);
}

int gcd(int a, int  b) {
  if (!a) return b;
  while (a ^= b ^= a ^= b %= a);
  return b;
}

扩展欧几里得算法（exgcd）

求一组 \(ax+by = \gcd(a, b)\) 的可行性解。

设 \(\begin{cases} ax_1 + by_1 = \gcd(a, b) \\ bx_2 + (a \% b)y_2 = \gcd(b, a \% b) \end{cases}\)。

由欧几里得算法：\(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \% b)\)，所以有

\[\begin{aligned} ax_1 + by_1 &= bx_2 + (a \% b)y_2 \\ &= bx_2 + (a - b \lfloor \frac{a}{b} \rfloor) y_2 \\ &= bx_2 + ay_2 - b \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2 \\ &= ay_2 + b(x_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2) \end{aligned} \]

所以 \(x_1 = y_2, y_1 = x_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2\) ，将 \(x_2, y_2\) 带入递归直至 \(\gcd(a, b) = 0\) 饭后 \(x = 1, y = 0\) 回去求解 。

int exgcd(int a, int b) {
  if (!b) {
    x = 1, y = 0;
    return a;
  }
  int g = exgcd(b, a % b), ty = y;
  y = x - a / b * y, x = ty;
  return g;
}

通解

令 \(x_1, y_1\) 为其中一组解。

通解为 \(\begin{cases} x = x_1 + k\frac{b}{\gcd(a, b)} \\ y = y_1 - k\frac{a}{\gcd(a, b)} \end{cases}\)。

关于值域

详情见 OI-Wiki

结论，若 \(a,b \neq 0\)，有 \(|x| \leqslant a, |y| \leqslant b\)。

裴蜀定理

设 \(a, b\) 是不全为零的整数，对任意整数 \(x, y\)，满足 \(\gcd(a,b)\mid ax+by\)，且存在整数 \(x, y\), 使得 \(ax + by = gcd(a, b)\)

对于第一点，因为 \(\gcd(a, b) \mid a, b\)，因此成立。对于第二点，有 exgcd 可知。

且裴蜀定理对于多个整数也成立。

同余方程

对于同余方程 \(ax \equiv c \pmod b\)，即 \(ax + by = c\)。

若 \(\gcd(a,b) \mid c\) 则有解，否则算出 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 的解 \(x1, y1\), \(x = x1 \cdot \frac{c}{gcd(a,b)}\)。

逆元

求 \(a\) 在模 \(m\) 意义下的逆元，等同于解 \(ax \equiv 1 \pmod m\)，当且仅当 \(\gcd(a, m) = 1\) 有解。