20250710 HT-066-Rainbow

比赛

A,B,C 都比较简单，略过。

D 题，一眼一个 SG 函数，对于每个正整数求出 SG 后，异或一下即可。可是忘记怎么求欧拉函数了，手推 \(20min\) 才推出来。

E 题没啥想法，看到 \(40\) 分的 \(a < p\)，输出 \(-1\) 和 \(\min((2p + a) \oplus a, (p + a) \oplus a)\)。

正解做法：令 \(x = a \oplus b = a + kp\)，先考虑 \(k > 0\) 的情况，\(k \leqslant 0\) 同理。先令 \(x = a + p\)，从高考虑第 \(i\) 位，只有第 \(3\) 种情况可以通过加若干个 \(p\) 使 \(x\) 第 \(i\) 位变为 \(1\)，\(b\) 的第 \(i\) 位变为 \(0\)。可以通过算出 \(x\) 的后 \(i - 1\) 位得到加至少多少个 \(p\) 即可（需注意判断进位）。

x	a	b
1	0	1
1	1	0
0	0	0
0	1	1

F 不会。G 题看部分分 \(k = 0\) 看成 \(1\)，可以吃了。而对于 \(n \le 10^6\)，可以枚举抓了 \(i\) 个人，答案就是 \(C_{n}^{i}p^i(1 -p)^{n - i}(1^k + 2^k + \dots + i^k), p = \frac{x}{x + 1}\)。

总结一下，线性筛求欧拉函数忘记了（呃），需要多练。G 看错题，纯属 \(\color{white} {sb}\)。总分：\(100 + 100 + 100 + 100 + 40 + 0 + 10 = 450\)。