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摘要： 黎曼流形与黎曼梯度 黎曼流形(Riemannian manifolds) 定义 切空间 \(\mathrm{T}_x \mathcal{M}\) 上的内积是一个双线性、对称、正定的函数 \(\langle \cdot, \cdot \rangle_x: \mathrm{T}_x \mathcal{M 阅读全文

摘要： 切空间、切丛与收缩算子 切空间 一般流形上的切空间的定义相对比较抽象，流形优化一般只考虑有限维线性空间上的流形，此时的切空间定义简单一些。一般的情况可以类似的推广，这里不去讨论。 定义 设 \(\mathcal{M}\) 是 \(\mathcal{E}\) 的一个子集。对于所有 \(x \in \m 阅读全文

摘要： 嵌入子流形 嵌入子流形的定义 由于在流形优化中，一般考虑在有限维线性空间上的流形，因此如未加特殊申明，以下所考虑的流形都是指有限维线性空间 \(\mathbb{R}^n\) 的流形，且是光滑流形。 这一节考虑嵌入子流形，这里嵌入子流形比子流形要求更高，它不仅是子流形，而且需要子流形上的拓扑结构是继承 阅读全文

摘要： 复矩阵的QR分解 定义：QR分解 设 \(A\) 是一个 \(m \times n\) 复矩阵，且 \(m \geq n\)。如果存在一个 \(m \times r\) 酉矩阵 \(Q\) 和一个 \(r \times n\) 上梯形矩阵 \(R\)，使得 \[A = QR \]则称此分解为 \(A 阅读全文

摘要： 至此，你好象经历了一番长途跋涉，终于到达了一处目的地。无论前面还有多少胜景奇观，你都该缓一口气了。现今对于大学生的泛函分析课程，至多也就走到这一步，甚至在远离这一步的某个地方，就收兵回营了。这并没有什么不妥。你在大学几年中所积累的数学知识还不算多。象泛函分析这样具有高度综合性的理论课程，若只在纯粹的 阅读全文

摘要： 空闲时间想多学习一些基础数学课，虽然以前也学过，但是没有写一些笔记 比如: 泛函分析 范畴论 测度论 暑期班的优化笔记也可以整理一下； 还一些经常遇见的矩阵的性质，还有数值分析中关于矩阵的部分(矩阵计算)，因为比较散乱，所以遇到了再整理。 当然了，最后还想学习英语，英语一直是薄弱的，目前基本的论文阅 阅读全文

摘要： 今天看了B站一个视频:【漫士】红蓝眼谜题：大家都知道的话，为何却不能说？_哔哩哔哩_bilibili, 感觉挺有意思，我让ai整理一下: 想象一下，一座与世隔绝的小岛上，住着100个绝对理性的逻辑天才。 这100个人当中，其中有10个人，眼睛是红色的，另外90个，是蓝色的。每个人都能清楚地看到别人眼 阅读全文

摘要： 复矩阵的奇异值分解（SVD） 定理 设 $ A \in \mathbb{C}_r^{m \times n} $，则存在 $ U \in \mathcal{U}_m $（$ m $ 阶酉矩阵）和 $ V \in \mathcal{U}_n $（$ n $ 阶酉矩阵），使得$$U^\dagger A V 阅读全文

摘要： Hermite矩阵的酉对角化（谱定理） 基本定义 定义（Hermite矩阵） 设 $ A \in \mathbb{C}^{n \times n} $ 为复矩阵，若其共轭转置等于自身，即 \[A^\dagger = A \]则称 $ A $ 为 Hermite 矩阵。 定义（酉矩阵） 设 $ U \i 阅读全文

摘要： 拓扑空间与微分流形基础概念 拓扑空间 定义（拓扑空间） 设 \(M\) 是一个非空集合，其子集组成的集合 \(\mathrm{T} = \{ U_{\alpha} \subset M \mid \alpha \in \mathrm{A} \}\)。若 \(\mathrm{T}\) 满足以下条件，则称 阅读全文