拓扑空间与微分流形基础概念

拓扑空间与微分流形基础概念

拓扑空间

定义（拓扑空间）

设 \(M\) 是一个非空集合，其子集组成的集合 \(\mathrm{T} = \{ U_{\alpha} \subset M \mid \alpha \in \mathrm{A} \}\)。若 \(\mathrm{T}\) 满足以下条件，则称 \((M, \mathrm{T})\) 为一个拓扑空间，\(\mathrm{T}\) 称为 \(M\) 的一个拓扑，\(\mathrm{T}\) 中的元素称为拓扑空间 \((M, \mathrm{T})\) 中的开集：

1. \(\emptyset, M \in \mathrm{T}\)；
2. \(\mathrm{T}\) 中有限个元素的交仍属于 \(\mathrm{T}\)；
3. \(\mathrm{T}\) 中任意多个元素的并仍属于 \(\mathrm{T}\)。

示例（相对拓扑/限制拓扑）

设 \(M\) 是一拓扑空间，\(\mathrm{T} = \{ U_{\alpha} \mid \alpha \in \mathrm{A} \}\) 为其拓扑。若 \(N\) 是 \(M\) 的一子集，令 \(\mathrm{T}|_{N} = \{ U_{\alpha} \cap N \mid \alpha \in \mathrm{A} \}\)，则 \((N, \mathrm{T}|_{N})\) 是一拓扑空间，\(\mathrm{T}|_{N}\) 称为（相对于 \(M\) 的拓扑 \(\mathrm{T}\) 而言）相对拓扑或者限制拓扑。

示例（积拓扑与积空间）

设 \((M_{1}, \mathrm{T}_{1})\)、\((M_{2}, \mathrm{T}_{2})\) 是两个拓扑空间。则 \(M = M_{1} \times M_{2}\) 以子集族

\[\mathrm{B} = \{ U_{1} \times U_{2} \mid U_{i} \in \mathrm{T}_{i}, i=1,2 \} \]

为基所确定的唯一拓扑 \(\mathrm{T}\) 称为 \(\mathrm{T}_{1}\)、\(\mathrm{T}_{2}\) 的积拓扑，拓扑空间 \((M, \mathrm{T})\) 称为拓扑空间 \((M_{1}, \mathrm{T}_{1})\)、\((M_{2}, \mathrm{T}_{2})\) 的积空间。

定义（Hausdorff空间）

设 \((M, \mathrm{T})\) 是一拓扑空间。如果对 \(M\) 中任意不同的两点 \(p\) 和 \(q\)，存在包含 \(p\) 的开集 \(U\) 和包含 \(q\) 的开集 \(V\) 满足 \(U \cap V = \emptyset\)，则称 \(M\) 是一个Hausdorff空间。

定义（连续映射）

设 \(M\)、\(N\) 是两个拓扑空间，\(f: M \to N\)。如果 \(N\) 中每个开集 \(U\) 的原象 \(f^{-1}(U)\) 是 \(M\) 中的开集，则称 \(f\) 是从 \(M\) 到 \(N\) 的一个连续映射。

定义（同胚与同胚空间）

设 \(M\)、\(N\) 是两个拓扑空间，映射 \(f: M \to N\) 是同胚的，如果：

1. \(f\) 是1-1的（单射）、到上的（满射），即 \(f\) 是双射；
2. \(f\)、\(f^{-1}\) 都是连续的。
   这时称 \(M\) 与 \(N\) 是同胚的。

定义（局部欧氏拓扑空间）

设 \(M\) 是一拓扑空间。如果对 \(\forall p \in M\)，存在包含 \(p\) 的开集 \(U\) 和同胚映射 \(\varphi: U \to \varphi(U) \subset \mathbb{R}^{n}\)（其中 \(\varphi(U)\) 是 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的开集），则称 \(M\) 是局部欧氏的拓扑空间，简称 \(M\) 是局部欧氏的。

拓扑流形

定义（\(n\) 维拓扑流形）

设 \(M\) 是Hausdorff空间。若对于 \(M\) 中的任意一点 \(p\)，存在一个包含 \(p\) 的邻域 \(U_{p}\) 同胚于 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的一个开集，则称 \(M\) 为一个 \(n\) 维拓扑流形，或简称 \(n\) 维流形。

示例（非Hausdorff的局部欧氏空间）

设 \(\{ p \}\) 是单点集，取 \(M = \mathbb{R}^{1} \cup \{ p \}\)。令 \(\mathrm{B} = \{ U \mid U \text{ 是 } \mathbb{R}^{1} \text{ 中的开集} \} \cup \{ (a, 0) \cup \{ p \} \cup (0, b) \mid a < 0, b > 0 \}\)，则 \(M\) 上有唯一的拓扑 \(\mathrm{T}\) 以 \(\mathrm{B}\) 为拓扑基。容易验证 \((M, \mathrm{T})\) 是局部欧氏的拓扑空间，但不是Hausdorff空间——因为点 \(p\) 和 \(0\) 不能用两个不相交的开集隔离开。

思考（非局部欧氏的Hausdorff空间）

取 \(M = \{ (x, 0) \cup (0, y) \mid x, y \in \mathbb{R} \}\)，取 \(\mathbb{R}^{2}\) 上的限制拓扑。可以证明 \(M\) 是Hausdorff的，但不是局部欧氏的。

示例（拓扑流形的局部坐标与转移映射）

设 \(M\) 是 \(n\) 维拓扑流形。\(U\) 是 \(M\) 中的开集，若映射

\[\varphi: U \to \varphi(U), \quad p \mapsto x(p) = \left( x^{1}(p), x^{2}(p), \dots, x^{n}(p) \right) \]

是同胚映射（其中 \(\varphi(U)\) 是 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的开集），则称 \((U, \varphi)\) 为 \(M\) 的一个局部坐标（或坐标图、坐标卡）。设 \(p \in U\)，称 \(U\) 为 \(p\) 的一个坐标邻域，\(\varphi\) 称为坐标映射，\(\varphi(p) = x(p) = \left( x^{1}(p), x^{2}(p), \dots, x^{n}(p) \right)\) 称为点 \(p\) 的坐标。

设 \((U, \varphi)\)、\((V, \psi)\) 为 \(M\) 的两个局部坐标，且 \(U \cap V \neq \emptyset\)，则有同胚映射：

\[\left. \varphi \right|_{U \cap V}: U \cap V \to \varphi(U \cap V) \subseteq \mathbb{R}^{n}, \quad p \mapsto x(p) = \left( x^{1}(p), \dots, x^{n}(p) \right), \]

\[\left. \psi \right|_{U \cap V}: U \cap V \to \psi(U \cap V) \subseteq \mathbb{R}^{n}, \quad p \mapsto y(p) = \left( y^{1}(p), \dots, y^{n}(p) \right). \]

由此得到 \(\mathbb{R}^{n}\) 中开集的同胚映射（即同一点在两个不同坐标下的坐标变换公式）：

\[\left. \psi \circ \varphi^{-1} \right|_{\varphi(U \cap V)}: \varphi(U \cap V) \to \psi(U \cap V), \quad \left( x^{1}(p), \dots, x^{n}(p) \right) \mapsto \left( y^{1}(p), \dots, y^{n}(p) \right), \]

\[\left. \varphi \circ \psi^{-1} \right|_{\psi(U \cap V)}: \psi(U \cap V) \to \varphi(U \cap V), \quad \left( y^{1}(p), \dots, y^{n}(p) \right) \mapsto \left( x^{1}(p), \dots, x^{n}(p) \right), \]

上述映射称为转移映射。它是欧氏空间中开集到开集的映射，可讨论其可微性、解析性等微积分概念（拓扑流形本身无这些概念）。

定义（局部坐标系/坐标图册）

设 \(M\) 是拓扑流形。如果集合 \(\mathrm{D} = \{ (U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}) \mid \alpha \in \mathrm{A} \}\) 满足：

1. \(\{ U_{\alpha} \mid \alpha \in \mathrm{A} \}\) 为 \(M\) 的开覆盖，即 \(\bigcup_{\alpha \in \mathrm{A}} U_{\alpha} = M\)；
2. 对任意的 \(\alpha\)，\((U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\) 是 \(M\) 的一个局部坐标（或坐标图）；
   则称 \(\mathrm{D}\) 为 \(M\) 的一个局部坐标系（或坐标图册）。

微分流形

定义（\(C^{k}\)-相容局部坐标）

设 \((U, \varphi)\)、\((V, \psi)\) 为流形 \(M\) 的两个局部坐标。如果转移映射 \(\psi \circ \varphi^{-1}\)、\(\varphi \circ \psi^{-1}\) 均为 \(C^{k}\)（\(k \geq 1\)）映射，则称 \((U, \varphi)\)、\((V, \psi)\) 为 \(C^{k}\)-相容的。若 \(U \cap V = \emptyset\)，则约定 \((U, \varphi)\)、\((V, \psi)\) 为 \(C^{k}\)-相容的。定义中的 \(C^{k}\) 可替换为 \(C^{\infty}\)（光滑）或 \(C^{\omega}\)（解析）。

示例（\(C^{k}\)-不相容的局部坐标）

以下例子说明“\(\psi \circ \varphi^{-1}\)、\(\varphi \circ \psi^{-1}\) 均为 \(C^{k}\) 映射”是 \(C^{k}\)-相容的必要条件：

设 \(M = \mathbb{R}^{1}\)，取 \(U = V = \mathbb{R}^{1}\)，令

\[\varphi: U \to \mathbb{R}^{1}, \quad x \mapsto t = x, \]

\[\psi: V \to \mathbb{R}^{1}, \quad x \mapsto s = x^{3}, \]

则转移映射为

\[\psi \circ \varphi^{-1}: \mathbb{R}^{1} \to \mathbb{R}^{1}, \quad s = t^{3}, \]

\[\varphi \circ \psi^{-1}: \mathbb{R}^{1} \to \mathbb{R}^{1}, \quad t = s^{\frac{1}{3}}, \]

可验证：\(\psi \circ \varphi^{-1}\) 是 \(C^{\infty}\) 的，但 \(\varphi \circ \psi^{-1}\) 在 \(s=0\) 处不可导（非 \(C^{1}\)），因此 \((\mathbb{R}^{1}, \varphi)\)、\((\mathbb{R}^{1}, \psi)\) 不是 \(C^{1}\)-相容的。

定义（\(C^{k}\) 微分结构与 \(C^{k}\)-微分流形）

设 \(M\) 为拓扑流形。若集合 \(\mathrm{D}\) 满足以下条件，则称 \(\mathrm{D}\) 为 \(M\) 上的一个 \(C^{k}\) 微分结构，\((M, \mathrm{D})\) 称为 \(C^{k}\)-微分流形：

1. \(\mathrm{D}\) 为 \(M\) 的局部坐标系；
2. 对任意的 \(\alpha, \beta\)，\((U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\) 和 \((U_{\beta}, \varphi_{\beta})\) 都是 \(C^{k}\)-相容的；
3. \(\mathrm{D}\) 是最大的，即：若 \((U, \varphi)\) 是 \(M\) 的局部坐标，且对任意的 \(\alpha\)，\((U, \varphi)\) 和 \((U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\) 均 \(C^{k}\)-相容，则 \((U, \varphi) \in \mathrm{D}\)。

注

讨论具体问题时，只需给出 \(M\) 的一组 \(C^{k}\)-相容局部坐标系，再“理论上”添加所有与这组坐标系 \(C^{k}\)-相容的局部坐标，即可确定 \(C^{k}\) 微分结构。

流形间的映射

定义（\(C^{k}\) 映射）

设 \(M\)、\(N\) 为 \(C^{\infty}\) 流形，\(f\) 是从 \(M\) 到 \(N\) 的映射。若对 \(M\)、\(N\) 的任意局部坐标 \((U, \varphi)\) 和 \((V, \psi)\)，映射

\[\psi \circ f \circ \varphi^{-1}: \varphi(U) \to \psi(V) \]

是欧氏空间中开集之间的 \(k\) 阶连续可微映射，则称 \(f\) 是 \(M\) 到 \(N\) 的 \(C^{k}\) 映射。

注

\(C^{k}\) 映射的定义与局部坐标选取无关。设 \((U_{1}, \varphi_{1})\)、\((V_{1}, \psi_{1})\) 为另一组局部坐标，则

\[\psi_{1} \circ f \circ \varphi_{1}^{-1} = \left( \psi_{1} \circ \psi^{-1} \right) \circ \left( \psi \circ f \circ \varphi^{-1} \right) \circ \left( \varphi \circ \varphi_{1}^{-1} \right), \]

其可微性与 \(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\) 一致（本质是利用微分结构定义可微性）。

示例（光滑函数与光滑曲线）

设 \(M\) 为光滑流形（\(C^{\infty}\)-微分流形）：

1. 若映射 \(f: M \to \mathbb{R}^{1}\) 是光滑的，则称 \(f\) 为 \(M\) 上的光滑函数，\(M\) 上所有光滑函数的全体记为 \(C^{\infty}(M)\)；
2. 若映射 \(\gamma: \mathbb{R}^{1} \to M\) 是光滑的，则称 \(\gamma\) 为 \(M\) 上的光滑曲线。

定义（微分同胚与微分同胚空间）

设 \(M\)、\(N\) 为光滑流形。若光滑映射 \(f: M \to N\) 满足：

1. \(f\) 是同胚；
2. \(f\) 与 \(f^{-1}\) 均为光滑的；
   则称 \(f\) 为微分同胚映射。若流形 \(M\)、\(N\) 间存在微分同胚映射，则称 \(M\) 与 \(N\) 微分同胚。

注（微分同胚与 \(C^{k}\)-相容的关系）

前文“\(C^{k}\)-不相容的局部坐标”示例中，\(\mathbb{R}^{1}\) 的两个局部坐标 \(\mathrm{D}_{1} = \{ (U, \varphi) \}\)、\(\mathrm{D}_{2} = \{ (U, \psi) \}\) 不是 \(C^{1}\)-相容的，因此诱导 \(M = \mathbb{R}^{1}\) 上两个不同的微分结构 \(\mathrm{D}_{1}\) 和 \(\mathrm{D}_{2}\)，但 \((\mathbb{R}^{1}, \mathrm{D}_{1})\) 与 \((\mathbb{R}^{1}, \mathrm{D}_{2})\) 是微分同胚的。

事实上，作映射

\[f: \mathbb{R}^{1} \to \mathbb{R}^{1}, \quad x \mapsto y = x^{\frac{1}{3}}, \]

直接验证可知 \(f\) 是微分同胚映射。由此可推出：

• 同一拓扑流形 \(M\) 上的不同微分结构 \(\mathrm{D}_{1}\)、\(\mathrm{D}_{2}\)，其诱导的微分流形 \((M, \mathrm{D}_{1})\)、\((M, \mathrm{D}_{2})\) 可能微分同胚；
• \(\mathrm{D}_{1}\) 与 \(\mathrm{D}_{2}\) 是 \(C^{k}\)-相容的，当且仅当恒同映射 \(id_{M}\) 是微分同胚。

注

判断同一流形上不同微分结构是否相容，核心是验证 \(id_{M}\) 是否为微分同胚。微分同胚的概念比 \(C^{k}\)-相容更广，在微分同胚意义下对流形微分结构分类是微分拓扑的核心主题。