Hermite矩阵的酉对角化（谱定理）

Hermite矩阵的酉对角化（谱定理）

基本定义

定义（Hermite矩阵）
设 $ A \in \mathbb{C}^{n \times n} $ 为复矩阵，若其共轭转置等于自身，即

\[A^\dagger = A \]

则称 $ A $ 为 Hermite 矩阵。

定义（酉矩阵）
设 $ U \in \mathbb{C}^{n \times n} $ 为复矩阵，若满足

\[U^\dagger U = I \]

其中 $ I $ 为 $ n \times n $ 单位矩阵，则称 $ U $ 为酉矩阵。酉矩阵全体记为 $ \mathcal{U}_n $，酉矩阵的列向量构成 $ \mathbb{C}^n $ 的标准正交基（即列向量间内积为 0，自身内积为 1）。

注
设 $ U \in \mathbb{C}^{m \times n} $，若满足

\[U^\dagger U = I \]

我们记满足上述性质的全体 $ U \in \mathbb{C}^{m \times n} $ 为 $ \mathrm{St}(m,n) $（Stiefel 流形），其中 $ m \geq n $，相当于一种非方阵的酉矩阵。注意这里一定要 $ m \geq n $，否则 $ U^\dagger U = I $ 不可能成立。

关键性质

引理（Hermite 矩阵的特征值为实数）
设 $ A $ 为 Hermite 矩阵，$ \lambda $ 为其任一特征值，$ x \neq 0 $ 为对应的特征向量（即 $ Ax = \lambda x $），则 $ \lambda \in \mathbb{R} $。

证明
对等式 $ Ax = \lambda x $ 两边取共轭转置，得：

\[x^\dagger A^\dagger = \overline{\lambda} x^\dagger \]

因 $ A $ 是 Hermite 矩阵（$ A^\dagger = A $），故：

\[x^\dagger A = \overline{\lambda} x^\dagger \]

两边右乘 $ x $，结合 $ Ax = \lambda x $，得：

\[x^\dagger A x = \overline{\lambda} x^\dagger x \quad \text{且} \quad x^\dagger A x = \lambda x^\dagger x \]

因此 $ \lambda x^\dagger x = \overline{\lambda} x^\dagger x $。由于 $ x \neq 0 $，内积 $ x^\dagger x = |x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2 > 0 $，故 $ \lambda = \overline{\lambda} $，即 $ \lambda $ 为实数。

引理（不同特征值的特征向量正交）
设 $ A $ 为 Hermite 矩阵，$ \lambda \neq \mu $ 为其两个互异特征值，$ x, y $ 为对应的特征向量（\(Ax = \lambda x\), $ Ay = \mu y $），则 $ x $ 与 $ y $ 正交，即 $ x^\dagger y = 0 $。

证明
由 $ Ax = \lambda x $，两边左乘 $ y^\dagger $ 得：

\[y^\dagger A x = \lambda y^\dagger x \]

左边可改写为 $ (A y)^\dagger x $（因 $ y^\dagger A = (A y)^\dagger $），结合 $ A y = \mu y $ 及 $ \mu \in \mathbb{R} $（前一引理），得：

\[(A y)^\dagger x = (\mu y)^\dagger x = \mu y^\dagger x \]

因此 $ \mu y^\dagger x = \lambda y^\dagger x $，即 $ (\mu - \lambda) y^\dagger x = 0 $。因 $ \lambda \neq \mu $，故 $ y^\dagger x = 0 $，即 $ x $ 与 $ y $ 正交。

注
一般的复矩阵只能得到不同特征值对应的特征向量线性无关，而 Hermite 矩阵可以得到相互正交，这是一个更强的结论（因为正交一定线性无关）。

引理（特征向量的正交补空间是不变子空间）
设 $ A $ 为 Hermite 矩阵，$ \lambda $ 为其特征值，$ x $ 为单位特征向量（$ x^\dagger x = 1 $），记 $ M = \text{span}{x} $，其正交补空间为：

\[M^\perp = \{ y \in \mathbb{C}^n \mid y^\dagger x = 0 \} \]

则 $ M^\perp $ 是 $ A $ 的不变子空间（即 $ y \in M^\perp \implies A y \in M^\perp $）。

证明
对任意 $ y \in M^\perp $，需证 $ (A y)^\dagger x = 0 $：

\[(A y)^\dagger x = y^\dagger A^\dagger x = y^\dagger A x=y^\dagger (\lambda x) = \lambda y^\dagger x = 0 \quad (\text{因 } y \in M^\perp) \]

故 $ A y \in M^\perp $，即 $ M^\perp $ 是不变子空间。

谱定理的证明

定理（Hermite 矩阵的谱定理）
对任意 $ n \times n $ Hermite 矩阵 $ A $，存在 $ n \times n $ 酉矩阵 $ U $ 和实对角矩阵 $ \Lambda $，使得：

\[U^\dagger A U = \Lambda \]

其中 $ \Lambda $ 的对角元为 $ A $ 的特征值，$ U $ 的列向量为对应的特征向量（标准正交）。

证明
用数学归纳法证明：

• （$ n = 1 $）：
  1 阶 Hermite 矩阵为实数 $ a $（满足 $ \overline{a} = a $）。取酉矩阵 $ U = [1] $，则 $ U^\dagger A U = [a] $ 为对角矩阵，结论成立。

• （假设 $ n-1 $ 阶成立，证明 $ n $ 阶成立）：
  设 $ A $ 为 $ n \times n $ Hermite 矩阵，由代数基本定理，$ A $ 存在特征值 $ \lambda_1 \in \mathbb{R} $（前一引理）和单位特征向量 $ x_1 \in \mathbb{C}^n \(（\) x_1^\dagger x_1 = 1 $）。

  记 $ M = \text{span}{x_1} $，其正交补 $ M^\perp $ 为 $ n-1 $ 维子空间（由“特征向量的正交补空间是不变子空间”引理）。$ A $ 在 $ M^\perp $ 上的限制 $ A|_{M^\perp} $ 是 $ n-1 $ 阶 Hermite 矩阵（因 $ M^\perp $ 是不变子空间且 $ A^\dagger = A $）。

  由归纳假设，存在 $ n-1 $ 阶酉矩阵 $ V $（列向量为 $ M^\perp $ 的标准正交基），使得：

  \[V^\dagger (A|_{M^\perp}) V = \Lambda' \quad (\Lambda' \text{ 为 } n-1 \times n-1 \text{ 实对角矩阵}) \]

  构造 $ n \times n $ 矩阵 $ U = [x_1 \quad V'] $，其中 $ V' $ 是将 $ V $ 的列嵌入 $ \mathbb{C}^n $ 得到的矩阵（列向量属于 $ M^\perp $）。因 $ x_1 $ 与 $ V' $ 的列正交且均为单位向量，故 $ U^\dagger U = I $，即 $ U $ 是酉矩阵。

  计算 $ U^\dagger A U $：

  \[U^\dagger A U = \begin{pmatrix} x_1^\dagger \\ V'^\dagger \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x_1 & V' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1^\dagger A x_1 & x_1^\dagger A V' \\ V'^\dagger A x_1 & V'^\dagger A V' \end{pmatrix} \]
  • 左上角：$ x_1^\dagger A x_1 = \lambda_1 x_1^\dagger x_1 = \lambda_1 $；
  • 右上角与左下角：因 $ A V' \subset M^\perp $，故 $ x_1^\dagger A V' = 0 $，同理 $ V'^\dagger A x_1 = 0 $；
  • 右下角：$ V'^\dagger A V' = V^\dagger (A|_{M^\perp}) V = \Lambda' $。

  因此：

  \[U^\dagger A U = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \Lambda' \end{pmatrix} = \Lambda \]

  其中 $ \Lambda $ 为实对角矩阵。由归纳法，结论对所有 $ n \geq 1 $ 成立。