三角函数和解三角形考点关联速查表 06

前情概要

此表格涉及到三角函数和解三角形两个章节的考点，是高考备考的关键和重点章节。表格的题型梳理、方法思维、变形融合这三列几乎都是 AI 制作，剩下的思维导图和检测习题待有空手动添加。

考点关联速查06

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$C$ - 三角函数与解三角形

知识 章节	知识点	考点编号	★考点列举★	知识点关联项目
				题型 梳理	方法 思维	变形 融合	思维 导图	检测 习题
三 角 函 数 和 解 三 角 形	任意角弧度制及任意角的三角函数	C-01-045	终边相同的角的表示及其应用	细目①终边相同的角的集合表示；②终边在坐标轴上的角的表示；③终边在指定区域内的角的表示；④利用终边相同的角求三角函数值；⑤终边相同的角的综合应用	方法①集合表示法：$\{\beta|\beta=\alpha+2k\pi,k\in Z\}$；②分类讨论法，按终边所在坐标轴分类；③数形结合法，结合单位圆确定角的范围；④转化法，将任意角转化为$[0,2\pi)$内的角	注意①终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同；②表示角的集合时，注意$k\in Z$不能遗漏；③终边在$x$轴上的角：$\beta=k\pi(k\in Z)$，终边在$y$轴上的角：$\beta=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)$
		C-01-046	任意角的三角函数定义	细目①单位圆定义法；②终边定义法（坐标法）；③三角函数值的符号判断；④三角函数线的应用；⑤利用定义求三角函数值	方法①坐标法：$\sin\alpha=\frac{y}{r}$，$\cos\alpha=\frac{x}{r}$，$\tan\alpha=\frac{y}{x}(r=\sqrt{x^2+y^2}\neq0)$；②符号判断法：一全正、二正弦、三正切、四余弦；③三角函数线法：利用正弦线、余弦线、正切线分析	注意①三角函数的定义中$r>0$；②$\tan\alpha$的定义域是$\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)$；③三角函数线是三角函数的几何表示，可直观判断函数值的大小
		C-01-047	弧长公式与扇形面积公式	细目①角度制与弧度制的互化；②弧长公式的应用；③扇形面积公式的应用；④含参扇形的弧长与面积最值；⑤弧长与面积的综合计算	方法①弧度制互化：$180^\circ=\pi$弧度，$1^\circ=\frac{\pi}{180}$弧度；②弧长公式：$l=|\alpha|r$（$\alpha$为弧度）；③扇形面积公式：$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}|\alpha|r^2$；④最值求解：利用函数单调性或基本不等式	注意①公式中的$\alpha$必须是弧度制，角度制需先转化；②扇形的圆心角$\alpha$的范围：$0<\alpha<2\pi$；③求扇形最值时，注意自变量的取值范围限制
	同角三角函数基本关系和诱导公式	C-02-048	同角三角函数基本关系的应用	细目①知一求二（已知$\sin\alpha$求$\cos\alpha$、$\tan\alpha$等）；②三角函数式的化简；③三角函数式的证明；④齐次式求值；⑤含参同角三角函数问题	方法①基本关系：$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$；②弦切互化法：齐次式分子分母同除以$\cos^n\alpha$转化为正切；③平方关系变形：$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$，$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$	注意①“同角”指角相同，与角的形式无关；②知一求二时，需根据角的象限确定函数值符号；③$\tan\alpha$有意义的条件是$\cos\alpha\neq0$
		C-02-049	用诱导公式化简三角函数式	细目①利用诱导公式转化任意角为锐角；②多层诱导公式的化简；③含参三角函数式的诱导化简；④诱导公式与同角关系结合化简；⑤诱导公式的逆向应用	方法①记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限；②分步化简法：先定符号，再变函数名；③整体代换法：将$\alpha+\frac{k\pi}{2}$视为整体判断象限	注意①“奇、偶”指$\frac{k\pi}{2}$中$k$的奇偶性；②“符号看象限”是把$\alpha$看作锐角时原函数的符号；③化简结果尽量化为最简形式（单一函数、最简角）
	三角函数的图像与性质	C-03-050	三角函数的定义域与值域	细目①$\sin\alpha$、$\cos\alpha$、$\tan\alpha$的基本定义域；②复合三角函数的定义域；③三角函数的值域（最值）；④含参三角函数的值域讨论；⑤限定区间内三角函数的值域	方法①定义域：$\tan\alpha$排除$\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi$，复合函数需满足内层函数定义域；②值域求解：换元法（令$t=\omega x+\phi$）、图像法、有界性法（$|\sin\alpha|\leq1$，$|\cos\alpha|\leq1$）	注意①求复合三角函数定义域时，需逐层分析限制条件；②求值域时注意自变量的取值范围对结果的影响；③含参三角函数的值域，需对参数分类讨论
		C-03-051	三角函数的单调性	细目①基本三角函数的单调区间；②复合三角函数的单调区间；③含参三角函数的单调性讨论；④利用单调性比较大小；⑤利用单调性解不等式	方法①基本单调性：$y=\sin x$增区间$[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi]$，减区间$[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi]$；②复合函数：换元法+同增异减法；③单调性讨论：根据$\omega$的符号调整区间	注意①单调区间需标注$k\in Z$；②复合三角函数的单调性，需先考虑定义域；③$\omega<0$时，需先将$\omega$化为正数再求单调区间
		C-03-052	三角函数的对称性、奇偶性、周期性	细目①三角函数的对称轴与对称中心；②三角函数的奇偶性判断；③三角函数的周期求解；④对称性与周期性的结合应用；⑤含参三角函数的对称性讨论	方法①周期性：$y=A\sin(\omega x+\phi)$周期$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$，$y=A\tan(\omega x+\phi)$周期$T=\frac{\pi}{|\omega|}$；②奇偶性：$\sin(-x)=-\sin x$（奇），$\cos(-x)=\cos x$（偶）；③对称性：$y=\sin x$对称轴$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$，对称中心$(k\pi,0)$	注意①判断奇偶性需先看定义域是否关于原点对称；②对称轴是直线，对称中心是点；③周期是最小正周期的整数倍，通常求最小正周期
	函数$y$$=$$A$$\sin$$(\omega$$x$$+$$\phi)$的图像与性质	C-04-053	$y=A\sin(\omega x+\phi)$图像与变换作图	细目①平移变换（左加右减、上加下减）；②伸缩变换（横坐标、纵坐标）；③对称变换；④复合变换作图；⑤根据变换求解析式	方法①“先平移后伸缩”：$y=\sin x\rightarrow y=\sin(x+\phi)\rightarrow y=\sin(\omega x+\phi)\rightarrow y=A\sin(\omega x+\phi)$；②“先伸缩后平移”：$y=\sin x\rightarrow y=\sin\omega x\rightarrow y=\sin(\omega(x+\frac{\phi}{\omega}))\rightarrow y=A\sin(\omega x+\phi)$	注意①平移变换的“左加右减”是针对$x$本身，需提取$\omega$；②伸缩变换中，横坐标伸缩是“伸小缩大”（$\omega<1$伸长，$\omega>1$缩短）；③$A$影响振幅，$\omega$影响周期，$\phi$影响相位
		C-04-054	根据图像确定正弦型函数的解析式	细目①由图像求振幅$A$；②由图像求周期$T$（进而求$\omega$）；③由图像求相位$\phi$；④含参正弦型函数解析式的确定；⑤根据部分图像求完整解析式	方法①求$A$：$A=\frac{最大值-最小值}{2}$；②求$\omega$：$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$（由图像上相邻最值点/零点间距求$T$）；③求$\phi$：代入特殊点（最值点、零点）求解	注意①代入零点求$\phi$时，需判断零点所在的单调区间；②$\omega$的符号可由图像的单调性确定；③$\phi$的取值通常取$|\phi|\leq\pi$
	三角函数的恒等变换	C-05-055	三角函数式的化简和给角求值	细目①给角求值（非特殊角转化为特殊角）；②三角函数式的化简（降幂、消元、化同角）；③和差公式、二倍角公式的应用；④辅助角公式的应用；⑤多重三角恒等变换	方法①给角求值：拆角凑角法（如$75^\circ=45^\circ+30^\circ$）；②化简原则：降幂、化弦、化同角、化同名；③辅助角公式：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\theta)$（$\tan\theta=\frac{b}{a}$）	注意①给角求值时，注意角的范围对函数值符号的影响；②化简结果需满足：项数最少、次数最低、函数种类最少；③辅助角公式中$\theta$的象限由$a$、$b$的符号确定
		C-05-056	三角函数式的求值给值求值和给值求角	细目①给值求值（已知$\sin\alpha$求$\sin2\alpha$等）；②给值求角（由函数值求角的大小）；③齐次式求值；④拆角凑角求值；⑤给值求角的范围限定	方法①给值求值：拆角法（如$\alpha=(\alpha+\beta)-\beta$）、公式变形法；②给值求角：先求角的三角函数值，再根据角的范围确定角；③齐次式：弦切互化法	注意①关于 $\sin\theta$ 和 $\cos\theta$ 的一次齐次式和二次齐次式；②给值求角时，必须先缩小角的范围（尽量缩到单调区间）；③求角的三角函数值时，优先选择单调区间长、易判断的函数（如余弦）
		C-05-057	三角函数的综合应用	细目①三角函数与函数性质结合；②三角函数与不等式结合；③三角函数与最值问题结合；④三角函数与实际问题结合；⑤三角函数的恒等变换综合应用	方法①数形结合法：结合三角函数图像分析；②换元法：将三角函数转化为代数函数；③最值求解：利用有界性或二次函数最值；④实际问题：建模→求解→检验	注意①综合应用时，需注意三角函数的定义域、值域、周期性等限制；②实际问题中，角的范围需符合实际意义；③求解最值时，注意等号成立的条件
	正余弦定理	C-06-058	利用正、余弦定理解三角形	细目①已知两角一边解三角形；②已知两边及一角解三角形；③已知三边解三角形；④含参三角形的求解；⑤解三角形的多解情况判断	方法①正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$；②余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$；③边角互化法：将边化为角或角化为边；④多解判断：已知两边及一对角，用正弦定理判断	注意①已知两边及一角（SSA）可能有一解、两解或无解；②余弦定理求角时，结果唯一；③解三角形时，注意三角形内角和为$\pi$
		C-06-059	判断三角形的形状	细目①利用边角关系判断形状；②利用三角函数值判断形状；③含参三角形的形状判断；④结合恒等变换判断形状；⑤特殊三角形（等腰、直角、等边）的判断	方法①边化角法：利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换；②角化边法：利用余弦定理将角转化为边，结合代数变形；③特殊值法：验证特殊三角形的条件	注意①判断直角三角形：勾股定理或有一个角为$\frac{\pi}{2}$；②判断等腰三角形：两边相等或两角相等；③判断等边三角形：三边相等或三角相等（均为$\frac{\pi}{3}$）
		C-06-060	三角形的周长或面积问题	细目①三角形面积的直接求解；②周长的求解；③面积/周长的最值问题；④含参三角形的面积/周长讨论；⑤面积公式的综合应用	方法①面积公式：$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$；②周长：$L=a+b+c$（结合正余弦定理转化）；③最值求解：利用基本不等式或三角函数有界性	注意①面积公式中角为两边的夹角；②求最值时，注意三角形存在的条件（两边之和大于第三边、内角和为$\pi$）；③含参问题需讨论参数的取值范围
	正余弦定理的实际应用问题	C-07-061	测量距离、高度、角度问题	细目①测量两点间的距离（不可达）；②测量物体的高度（底部可达/不可达）；③测量角度（方位角、仰角、俯角）；④多三角形的测量问题；⑤实际测量的误差分析	方法①建模法：将实际问题转化为解三角形问题；②方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的角；③仰角/俯角：视线与水平线的夹角；④多三角形：逐步解三角形	注意①实际问题中，注意角度的定义（方位角、仰角、俯角）；②测量高度时，注意仪器的高度；③解三角形时，注意单位统一（角度/弧度）
		C-07-062	物理模型中的速度和时间问题	细目①速度的分解与合成（三角函数模型）；②简谐运动模型（$y=A\sin(\omega t+\phi)$）；③周期性运动的时间求解；④物理量的最值问题；⑤三角函数与物理图像结合	方法①速度分解：利用三角函数将合速度分解为分速度；②简谐运动：周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$，振幅$A$；③时间求解：利用周期性或单调性；④最值：利用三角函数有界性	注意①物理模型中，注意物理量的实际意义（如周期表示运动的周期）；②速度分解时，注意角度的对应关系；③简谐运动中，初相位$\phi$由初始条件确定