三角函数式的化简

前言

所谓三角函数式的化简，其本质就是灵活运用三角公式，对复杂的三角函数式进行变形，从而得到比较简单的三角函数式，以便于后续解题，所以三角函数式的化简是研究复杂三角函数式的基础。

升幂公式

\(\sin\alpha=2\sin\cfrac{\alpha}{2}\cos\cfrac{\alpha}{2}\)，

\(\cos\alpha=\cos^2\cfrac{\alpha}{2}-\sin^2\cfrac{\alpha}{2}\)

\(\cos\alpha=2\cos^2\cfrac{\alpha}{2}-1\)

\(\cos\alpha=1-2\sin^2\cfrac{\alpha}{2}\)

降幂公式

\(\sin^2\alpha=\cfrac{1-\cos2\alpha}{2}\)

\(\cos^2\alpha=\cfrac{1+\cos2\alpha}{2}\)

\(\tan^2\alpha=\cfrac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}\)

三看原则

一看角：通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

二看函数名称：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”，“弦化切”等；

三看结构特征：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“整式因式分解”，“二次式配方”等。

化简要求

(1)使三角函数式的次数尽量低;

(2)使三角函数式中的项数尽量少;

(3)使三角函数的种类尽量少;

(4)使三角函数式中的分母尽量不含有三角函数;

(5)使三角函数式中尽量不含有根号和绝对值符号;

(6)能求值的，要求出具体的值,否则就用三角函数式来表示.

常用变形

弦切互化，异名化同名，异角化同角，常数代换[如\(1\)的代换]，通分约分，配方展开，平方或开方，合并同类项，提取公因式，公式的逆用，变用，分类讨论等；

需要特别注意根式、分式、绝对值式；具体变形特别强调如，

\(1+\sin\theta+\cos\theta=(1+\cos\theta)+\sin\theta=(2cos^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2})\)；

\(\sqrt{1-\sin40^{\circ}}=\sqrt{sin^220^{\circ}-2\sin20^{\circ}\cdot \cos20^{\circ}+\cos^220^{\circ}}\)

\(=\sqrt{(\cos20^{\circ}-\sin20^{\circ})^2}=|\cos20^{\circ}-\sin20^{\circ}|\)

仿上分解：\(\sqrt{1-\sin\theta}\)

典例剖析：

化简：\(\sqrt{1-2sin(\pi+2)cos(\pi+2)}\)

分析：\(\sqrt{1-2sin(\pi+2)cos(\pi+2)}=\sqrt{1-2sin2cos2}\)

\(=\sqrt{(sin2-cos2)^2}=|sin2-cos2|=sin2-cos2\)

备注：\(2rad=2\times 57.3^{\circ}，sin2>0，cos2<0，\).

已知\(x\)为第三象限的角，化简：\(\sqrt{(1-tanx)^2+(1+tanx)^2}\)

分析：\(\sqrt{(1-tanx)^2+(1+tanx)^2}=\sqrt{2+2tan^2x}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+tan^2x}\)

\(=\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+\cfrac{sin^2x}{cos^2x}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\cfrac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}}\)

\(=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\cfrac{1}{cos^2x}}=\sqrt{2}\cdot \cfrac{1}{|cosx|}=-\cfrac{\sqrt{2}}{cosx}\)

化简：\(\sqrt{(1-sin\alpha sin\beta)^2-cos^2\alpha cos^2\beta}\)，其中\(-\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\beta<\cfrac{\pi}{2}\)

分析：\(\sqrt{(1-sin\alpha sin\beta)^2-cos^2\alpha cos^2\beta}\)

\(=\sqrt{(1-sin\alpha sin\beta-cos\alpha cos\beta)(1-sin\alpha sin\beta+cos\alpha cos\beta)}\)

\(=\sqrt{(1-cos(\alpha-\beta))(1+cos(\alpha+\beta)}\)

\(=\sqrt{2sin^2\cfrac{\alpha-\beta}{2}\cdot 2cos^2\cfrac{\alpha+\beta}{2}}\)

\(=|2sin\cfrac{\alpha-\beta}{2}cos\cfrac{\alpha+\beta}{2}|\)

由于\(-\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\beta<\cfrac{\pi}{2}\)，可以得到\(-\pi<\alpha+\beta<\pi\)，

即\(-\cfrac{\pi}{2}<\cfrac{\alpha+\beta}{2}<\cfrac{\pi}{2}\)，

故\(cos\cfrac{\alpha+\beta}{2}>0\)；

同时能得到\(-\pi<\alpha-\beta<\pi\)，且\(\alpha-\beta<0\)，故\(-\pi<\alpha-\beta<0\)，

则\(-\cfrac{\pi}{2}<\cfrac{\alpha-\beta}{2}<0\)，故\(sin\cfrac{\alpha-\beta}{2}<0\)

故原式\(=-2sin\cfrac{\alpha-\beta}{2}cos\cfrac{\alpha+\beta}{2}\)

化简\(\cfrac{(1+sin\theta+cos\theta)(sin\cfrac{\theta}{2}-cos\cfrac{\theta}{2})}{\sqrt{2+2cos\theta}}\)，其中\(0<\theta<\pi\)，

分析：原式\(=\cfrac{[(1+cos\theta)+sin\theta](sin\cfrac{\theta}{2}-cos\cfrac{\theta}{2})}{\sqrt{2(1+cos\theta)}}\)

\(=\cfrac{(2cos^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2})(sin\cfrac{\theta}{2}-cos\cfrac{\theta}{2})}{\sqrt{2\cdot 2cos^2\cfrac{\theta}{2}}}\)

\(=\cfrac{2cos\cfrac{\theta}{2}(cos\cfrac{\theta}{2}+sin\cfrac{\theta}{2})(sin\cfrac{\theta}{2}-cos\cfrac{\theta}{2})}{2cos\cfrac{\theta}{2}}\)

\(=sin^2\cfrac{\theta}{2}-cos^2\cfrac{\theta}{2}=-cos\theta\)。

化简\((\cfrac{1}{tan\frac{\theta}{2}}-tan\cfrac{\theta}{2})\cdot (1+tan\theta\cdot tan\cfrac{\theta}{2})\)

分析：原式\(=(\cfrac{cos\frac{\theta}{2}}{sin\frac{\theta}{2}}-\cfrac{sin\frac{\theta}{2}}{cos\frac{\theta}{2}})\cdot (1+tan\theta\cdot tan\cfrac{\theta}{2})\)

\(=\cfrac{2cos\theta}{sin\theta}\cdot (1+tan\theta\cdot tan\cfrac{\theta}{2})\)

\(=\cfrac{2cos\theta}{sin\theta}+2\cdot tan\cfrac{\theta}{2}\)

\(=\cfrac{2cos\theta}{sin\theta}+\cfrac{2\cdot sin\frac{\theta}{2}\cdot\sin\frac{\theta}{2}\cdot 2}{ cos\frac{\theta}{2}\cdot sin\frac{\theta}{2}\cdot 2}\)

\(=\cfrac{2cos\theta}{sin\theta}+\cfrac{2(1-cos\theta)}{sin\theta}\)

\(=\cfrac{2}{sin\theta}\)

化简\((tan\alpha+\cfrac{1}{tan\alpha})\cdot \cfrac{1}{2}sin2\alpha-2cos^2\alpha\)

分析：切化弦，

原式\(=(\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}+\cfrac{cos\alpha}{sin\alpha})\cdot sin\alpha cos\alpha-2cos^2\alpha\)

\(=\cfrac{1}{sin\alpha cos\alpha}\cdot sin\alpha cos\alpha-2cos^2\alpha\)

\(=1-2cos^2\alpha\)

\(=-cos2\alpha\)

化简：\(\sqrt{2+2cos8}+2\sqrt{1-sin8}\)

分析：如果你能注意到\(8=2\times 4\)，则可能想到利用二倍角公式，想办法将被开方数凑成一个完全平方数的形式，

原式\(=\sqrt{2}\sqrt{1+cos8}+2\sqrt{1-sin8}\)

\(=\sqrt{2}\sqrt{2cos^24}+2\sqrt{sin^24+cos^24-2sin4\cdot cos4}\)

\(=2|cos4|+2\sqrt{(sin4-cos4)^2}\)

\(=2|cos4|+2|sin4-cos4|\)

\(=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4\)

反思总结：\(4rad\approx 229^{\circ}\)，终边在第三象限的后半段，此时\(cos4>sin4\)。

化简\(\cfrac{sin(k\pi+\alpha)\cdot cos(2k\pi+\alpha)}{sin(2k\pi+\alpha)\cdot cos(k\pi-\alpha)}(k\in Z)\)；

分析：碰到\(k\pi+\alpha\)的形式，则角的终边在两个象限内，故需要分类讨论：

当\(k=2n(n\in N)\)时，原式=\(\cfrac{sin\alpha\cdot cos\alpha}{sin\alpha\cdot cos\alpha}=1\)

当\(k=2n+1(n\in N)\)时，原式=\(\cfrac{sin(\pi+\alpha)\cdot cos\alpha}{sin\alpha\cdot cos(\pi-\alpha)}=\cfrac{-sin\alpha\cdot cos\alpha}{sin\alpha\cdot(- cos\alpha)}=1\)

设\(\cfrac{\pi}{4}<\theta<\cfrac{\pi}{2}\)，则\(\sqrt{1+sin2\theta}+\sqrt{1-sin2\theta}\)=【\(\qquad\)】

$A.2sin\theta$ $B.2cos\theta$ $C.-2sin\theta$ $D.-2cos\theta$

法1：常数\(1\)的代换的使用和平方差公式，

由于\(\cfrac{\pi}{4}<\theta<\cfrac{\pi}{2}\)，则\(sin\theta>cos\theta\)，则原式

\(\sqrt{1+sin2\theta}+\sqrt{1-sin2\theta}\)

\(=\sqrt{sin^2\theta+2sin\theta\cdot cos\theta+cos^2\theta}+\sqrt{sin^2\theta-2sin\theta\cdot cos\theta+cos^2\theta}\)

\(=\sqrt{(sin\theta+cos\theta)^2}+\sqrt{(sin\theta-cos\theta)^2}\)

\(=|sin\theta+cos\theta|+|sin\theta-cos\theta|\)

\(=(sin\theta+cos\theta)+(sin\theta-cos\theta)=2sin\theta\)，故选\(A\)；

法2：先平方再开方，先退后进策略；

由于\(\cfrac{\pi}{4}<\theta<\cfrac{\pi}{2}\)，则\(cos2\theta<0\)，\(sin\theta>0\)，则原式

\(\sqrt{1+sin2\theta}+\sqrt{1-sin2\theta}\)

\(=\sqrt{(\sqrt{1+sin2\theta}+\sqrt{1-sin2\theta})^2}\)

\(=\sqrt{2+2\sqrt{1+sin2\theta}\cdot \sqrt{1-sin2\theta}}\)

\(=\sqrt{2+2\sqrt{1^2-sin^22\theta}}\)

\(=\sqrt{2+2\sqrt{cos^22\theta}}=\sqrt{2+2|cos2\theta|}\)

\(=\sqrt{2-2cos2\theta}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{1-cos2\theta}\)

\(=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2sin^2\theta}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}|sin\theta|\)

\(=2sin\theta\)，故选\(A\) .