三角函数给值求角

前言

三角函数给值求角的问题，其实可以拆分为两个部分，其一为给值求值，其二为添加角的范围；故其实质，往往需要先转化为给值求值，然后还需要所求角的范围，最终通过解三角方程达到目的，其中题目中往往暗含对角的范围的压缩，这是个难点。

角范围压缩

引例，已知\(\theta\in (0,\cfrac{\pi}{2})\)，且\(\sin\theta=\cfrac{2}{5}\)，要是使用已知的范围\(\theta\in (0,\cfrac{\pi}{2})\)，不会出现多个值的情形，那么我们可以直接使用题目所给的范围，万一有题目需要我们压缩角的范围，该如何做呢？

比如由\(\sin\theta=\cfrac{2}{5}<\cfrac{1}{2}\)，则可以将角的范围由\(\theta\in (0,\cfrac{\pi}{2})\)压缩到\(\theta\in (0,\cfrac{\pi}{6})\)，为什么要压缩？当角的范围越大，最后结果出现多个值的可能性就越大，所以角的范围越小越好，问题是我们形成的思维定势，往往只根据函数值的正负作范围压缩，很少利用函数值的大小来压缩角的范围。借助下面的例子，你可以体会压缩的原因和压缩的方法。

典例剖析

【2018\(\cdot\)成都模拟】若\(sin2\alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，\(sin(\beta-\alpha)=\cfrac{\sqrt{10}}{10}\)，且\(\alpha\in [\cfrac{\pi}{4}，\pi]\)，\(\beta\in [\pi，\cfrac{3\pi}{2}]\)，则\(\alpha+\beta\)的值是【】

$A.\cfrac{7\pi}{4}$ $B.\cfrac{9\pi}{4}$ $C.\cfrac{5\pi}{4}或\cfrac{7\pi}{4}$ $D.\cfrac{5\pi}{4}或\cfrac{9\pi}{4}$

分析：此题属于给值求角，难在角的范围的压缩。

由于\(\alpha\in [\cfrac{\pi}{4}，\pi]\)，\(2\alpha\in [\cfrac{\pi}{2}，2\pi]\)，但\(sin2\alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，故\(2\alpha\in [\cfrac{\pi}{2}，\pi]\)此处结合函数值的正负，可以将角的范围压缩。为什么要压缩教的范围，原因是范围越小，求值时越容易避免出现多值的情况。\(\quad\)，

则得到\(\alpha \in [\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{2}]\)，所以\(cos2\alpha=-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，

又\(\alpha \in [\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{2}]\)，\(\beta\in [\pi，\cfrac{3\pi}{2}]\)，故\(\beta-\alpha\in [\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{5\pi}{4}]\)此处用到同向不等式的可加性，\(\pi\leqslant\beta\leqslant\cfrac{3\pi}{2}\)，\(-\cfrac{\pi}{2}\leqslant-\alpha\leqslant-\cfrac{\pi}{4}\)，相加得到\(\beta-\alpha\)\(\in\)\([\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{5\pi}{4}]\)，\(\quad\)，于是，\(cos(\beta-\alpha)=-\cfrac{3\sqrt{10}}{10}\)，

所以\(cos(\alpha+\beta)=cos[2\alpha+(\beta-\alpha)]\)\(=cos2\alpha cos(\beta-\alpha)-sin2\alpha sin(\beta-\alpha)\)

\(=-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\times (-\cfrac{3\sqrt{10}}{10})-\cfrac{\sqrt{5}}{5}\times \cfrac{\sqrt{10}}{10}\)

\(=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)

且\(\alpha+\beta\in [\cfrac{5\pi}{4}，2\pi]\)，故\(\alpha+\beta=\cfrac{7\pi}{4}\)，故选\(A\).

定义运算：\(\left |\begin{array}{cccc}a&b \\c&d\end{array}\right |=ad-bc\)，若\(cos\alpha=\cfrac{1}{7}\)，\(\left |\begin{array}{cccc}sin\alpha&sin\beta \\cos\alpha&cos\beta\end{array}\right |=\cfrac{3\sqrt{3}}{14}\)，\(0<\beta<\alpha<\cfrac{\pi}{2}\)，则\(\beta\)等于【】

$A.\cfrac{\pi}{12}$ $B.\cfrac{\pi}{6}$ $C.\cfrac{\pi}{4}$ $D.\cfrac{\pi}{3}$

分析：有题目可知，\(sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta=sin(\alpha-\beta)=\cfrac{3\sqrt{3}}{14}\)，

又\(0<\beta<\alpha<\cfrac{\pi}{2}\)，则\(0<\alpha-\beta<\cfrac{\pi}{2}\)，故\(cos(\alpha-\beta)=\cfrac{13}{14}\)，

又\(cos\alpha=\cfrac{1}{7}\)，则\(sin\alpha=\cfrac{4\sqrt{3}}{7}\)，

故\(sin\beta=sin[\alpha-(\alpha-\beta)]=sin\alpha cos(\alpha-\beta)-cos\alpha sin(\alpha-\beta)=\cfrac{4\sqrt{3}}{7}\times \cfrac{13}{14}-\cfrac{1}{7}\times \cfrac{3\sqrt{3}}{14}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)

又由于\(0<\beta<\cfrac{\pi}{2}\)，故\(\beta=\cfrac{\pi}{3}\)。

已知\(\alpha，\beta\in (0，\pi)\)，且\(tan(\alpha-\beta)=\cfrac{1}{2}\)，\(tan\beta=-\cfrac{1}{7}\)，则\(2\alpha-\beta\)的值为________。

分析：由已知\(\alpha\in (0，\pi)\)，\(tan\alpha=tan[(\alpha-\beta)+\beta]=\cfrac{1}{3}>0\)，则\(\alpha\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)，

又由于\(tan2\alpha=\cdots=\cfrac{3}{4}\)，则\(0<2\alpha<\cfrac{\pi}{2}\)，

又由于\(tan\beta=-\cfrac{1}{7}\)，\(\beta\in (0，\pi)\)，则\(\cfrac{\pi}{2}<\beta<\pi\)，

即\(tan(2\alpha-\beta)=\cdots=1\)，

又由于\(0<2\alpha<\cfrac{\pi}{2}\)，\(\cfrac{\pi}{2}<\beta<\pi\)，

则\(-\pi<2\alpha-\beta<0\)，故\(2\alpha-\beta=-\cfrac{3\pi}{4}\)；

已知\(tan\alpha\)，\(tan\beta\)是方程\(x^2+3\sqrt{3}x+4=0\)的两个根，且\(\alpha\)，\(\beta\in (-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2})\)，则\(\alpha+\beta\)等于【】

$A.-\cfrac{2\pi}{3}$ $B.-\cfrac{2\pi}{3}或\cfrac{\pi}{3}$ $C.-\cfrac{\pi}{3}或\cfrac{2\pi}{3}$ $D.\cfrac{\pi}{3}$

分析：由韦达定理可知，\(tan\alpha+tan\beta=-3\sqrt{3}\)，\(tan\alpha\cdot tan\beta=4\)，

结合符号法则可知，\(tan\alpha<0\)，\(tan\beta<0\)，则由此可以压缩角的范围，\(\alpha\)，\(\beta\in (-\cfrac{\pi}{2}，0)\)，

由此知道，\(\alpha+\beta\in (-\pi，0)\)，接下来求其某一个三角函数的值，结合本题题设可知，需要求\(tan(\alpha+\beta)\);

\(tan(\alpha+\beta)=\cfrac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha\cdot tan\beta}=\cfrac{-3\sqrt{3}}{1-4}=\sqrt{3}\)，

结合上述范围，\(\alpha+\beta\in (-\pi，0)\)，则得到\(\alpha+\beta=-\cfrac{2\pi}{3}\)，故选\(A\).

【使用三角函数的定义，给值求角类型】已知\(\beta\)是钝角且\(cos\beta=-\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，若点\(A(1，3)\)是锐角\(\alpha\)终边上的一点，则\(\alpha-\beta\)=_____.

分析：\(\beta\)是钝角且\(cos\beta=-\cfrac{\sqrt{5}}{5}=-\cfrac{1}{\sqrt{5}}=\cfrac{x}{r}\)，结合三角函数的定义可知\(\beta\)的终边上某点的坐标为\((-1，2)\)，\(r=\sqrt{5}\)，则\(sin\beta=\cfrac{2}{\sqrt{5}}\)；

锐角\(\alpha\)终边上的一点\(A(1，3)\)，则\(r=\sqrt{10}\)，\(sin\alpha=\cfrac{3}{\sqrt{10}}\)，\(cos\alpha=\cfrac{1}{\sqrt{10}}\)，

由于\(sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta=\cdots=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，

又\(cos\beta=-\cfrac{1}{\sqrt{5}}>-\cfrac{\sqrt{2}}{2}=cos\cfrac{3\pi}{4}\)，可以将范围压缩为\(\beta\in (\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{3\pi}{4})\)，

又\(sin\alpha=\cfrac{3}{\sqrt{10}}>\cfrac{\sqrt{2}}{2}=sin\cfrac{\pi}{4}\)，可以将范围压缩为\(\alpha\in (\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{2})\)，

故由不等式性质得到\(\alpha-\beta\in (-\cfrac{\pi}{2}，0)\)，故\(\alpha-\beta=-\cfrac{\pi}{4}\)。

难点破解

• 求角的某种三角函数函数时的选择策略：

①从题目所给的值来看，简单记为给弦选弦，给切选切；

所给的值是正弦和余弦，则往往函数选择\(sin\)和\(cos\)；

所给的值是正切，则往往函数选择\(tan\)；

②从题目所求的角来看，[利用单调性这样就会一个萝卜一个坑，不担心多值的情形。]

若角的范围是\(\theta\in (0，\pi)\)，则选\(cos\theta\)；

若角的范围是\(\theta\in (-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2})\)，则选\(sin\theta\)；

若角的范围是\(\theta\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)，则选\(cos\theta\)或者\(sin\theta\)；

【2020 \(\cdot\) 湖北八校联考】已知 \(3\pi\leqslant\theta\leqslant 4\pi\)，且 \(\sqrt{\cfrac{1+\cos\theta}{2}}+\sqrt{\cfrac{1-\cos\theta}{2}}=\cfrac{\sqrt{6}}{2}\)， 则 \(\theta\)=【\(\quad\)】

$A.\cfrac{10\pi}{3}或\cfrac{11\pi}{3}$ $B.\cfrac{37\pi}{12}或\cfrac{47\pi}{12}$ $C.\cfrac{13\pi}{4}或\cfrac{15\pi}{4}$ $D.\cfrac{19\pi}{6}或\cfrac{23\pi}{6}$

解析：由于\(3\pi\leqslant\theta\leqslant 4\pi\)，则\(\cfrac{3\pi}{2}\leqslant \cfrac{\theta}{2}\leqslant 2\pi\)，所以\(\cos\cfrac{\theta}{2}>0\)，\(\sin \cfrac{\theta}{2}<0\)，

则\(\sqrt{\cfrac{1+\cos\theta}{2}}+\sqrt{\cfrac{1-\cos \theta}{2}}=\sqrt{\cos^{2}\cfrac{\theta}{2}}+\sqrt{\sin^{2}\cfrac{\theta}{2}}\)

\(=\cos \cfrac{\theta}{2}-\sin\cfrac{\theta}{2}=\sqrt{2}\cos(\cfrac{\theta}{2}+\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{\sqrt{6}}{2}\)

则 \(\cos(\cfrac{\theta}{2}+\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，然后解三角方程即可；

即 \(\cfrac{\theta}{2}+\cfrac{\pi}{4}=\cfrac{\pi}{6}+2k\pi\) 或 \(\cfrac{\theta}{2}+\cfrac{\pi}{4}=-\cfrac{\pi}{6}+2k\pi\)， \(k\in Z\)

即 \(\theta=-\cfrac{\pi}{6}+4k\pi\) 或 \(\theta=-\cfrac{5\pi}{6}+4k\pi\)， \(k\in Z\)，

由于 \(3\pi\leqslant\theta\leqslant 4\pi\)， 故\(\theta=\cfrac{19\pi}{6}\) 或 \(\cfrac{23 \pi}{6}\)，故选\(D\).