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摘要： 由于网上的好像有点看不懂，所以自己来写一个总结吧 Raney 引理 对于一个序列 \(a\)，满足 \(\sum_{i=1}^n a_i=1\) ，那么 \(a\) 的所有 \(n\) 个 cyclic-shifts（也就是所有循环移位） 中恰好有一个使得所有真前缀和为正。 证明： 手玩一下小样例 阅读全文

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摘要： 首先，Young 表是什么呢？就是长度从上到下由长到短的一个东西：（以下是英式画法） 我们再来说说她是干什么用的。 就是定义 Young 表中的格子有 \(n\) 个，那我们就是要统计将 \(1,\dots n\) 填入 Young 表中，使得每行每列由小到大的方案数。 勾长公式 显然，我不会证明。 阅读全文

摘要： 前言 我们发现，如果你会 EXCRT ，那么你可以通过 CRT 的板子，这不是一举两得？ 如果你选择 EXCRT ，她的实用性比 CRT 要广，同时也很好写，所以可以推荐直接学 EXCRT。 正文 我们要解决这样一个问题：求解关于 \(x\) 的方程组 \[\begin{cases} x\equiv 阅读全文

摘要： 先放一个图，懂重链剖分的都懂。 长链剖分，顾名思义，就是对于子树深度的最大值对树进行剖分。 具体地，就是找到所有以儿子为根的子树中深度最大的点为重儿子，然后跑重边优先遍历即可。 接下来介绍她有什么性质。 性质与证明 一个节点 \(u\) 的 \(k\) 级祖先所在长链长度一定 \(\ge k\) 证 阅读全文

摘要： 7.18 树形背包的时间复杂度证明 CF2229I 7.19 wqs 二分 7.22 基环树dp 7.25 dsu on tree 7.26 单侧递归线段树 7.28 格雷码 7.31 长链剖分+支配对（如NOIP2024T4） 8.1+8.2 欧拉路径+Boruvka最小生成树同余最短路+动态最短 阅读全文

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摘要： 特殊的行列式 二元线性方程组与二阶行列式 二元线性方程组 ：\(\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\end{cases}\) 解得 \((a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_1=b_1a_ 阅读全文

摘要： 排列与组合 定义 排列数：\(A_n^m=n\times(n-1)\times\dots\times(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}\) （从 \(n\) 个数里选 \(m\) 个数，不考虑选的数实际意义上相同的方案数） 全排列数：\(A_n^n\) 组合数：\(C_n^m=\fr 阅读全文

摘要： 定义 哈希，是一个十分无脑判断某两端字符串相同的方法（当然为了把保守我们也可以使用pb_ds库里的gb_hash_table）。 我通常使用哈希方法是 \(f(x)=f(x-1)\times b+s_x\) 。 转化成多项式形式那也就是： \[f(x)=\sum_{i=1}^{x}s_i\times 阅读全文