行列式

特殊的行列式

二元线性方程组与二阶行列式

二元线性方程组 ：\(\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\end{cases}\)

解得 \((a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_1=b_1a_{22}-a_{12}b_2 \\ (a_{11}a_{22}-a{12}a_{21})x_2=a_{11}b_2-b_1a_{21}\)

二阶行列式的值：\(\left | \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right |=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\) .

那我们就可以使用行列式表示二元线性方程组的解了：

设 \(D=\left | \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{matrix} \right |\) , \(D_1=\left | \begin{matrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{matrix} \right |\) , \(D_2=\left | \begin{matrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{matrix} \right |\) .

那么，\(x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D}\) .

三阶行列式

三阶行列式：\(\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right |\)

三阶行列式的值：

可以发现每一项可以视作：\(a_{1,p_1}a_{2,p_2}a_{3,p_3}\)（当 \(p_1p_2p_3\) 为奇排列，是正的；当 \(p_1p_2p_3\) 为偶排列时，是负的）

注：奇排列为逆序对为奇数的排列，偶排列为逆序对为偶数的排列

那也就是说，三阶行列式的值可以表示为

\[\sum_{p_1,p_2,p_3}(-1)^{t(p_1,p_2,p_3)}a_{1,p_1}a_{2,p_2}a_{3,p_3} \]

\(n\) 阶行列式

\(n\) 阶行列式：\(D=\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right|\) .

\(n\) 阶行列式的值：

\[\sum_{p_1,p_2,\dots,p_n}(-1)^{t(p_1,p_2,\dots,p_n)}a_{1,p_1}a_{2,p_2}\dots a_{n,p_n} \]

性质

1. 对角行列式：\(D=\left|\begin{matrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right|=a_{11}a_{22}\dots a_{nn}\)
2. 对角行列式：除了从左下角到右上角的对角线上的数，其他数全是 \(0\) ：\((-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1,n}a_{2,n-1}\dots a_{n,1}\) .
3. 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 \(0\)）：\(D=a_{11}a_{22}\dots a_{nn}\) .
4. 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）：\(D=a_{11}a_{22}\dots a_{nn}\) .
5. 行列式与它的转置行列式相等
6. 互换行列式的两行（列）, 行列式变号
7. 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式.
8. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
9. 行列式中其中一行（列）加到其他一行（列），值不变。

行列式值的递归形式

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

\[D=a_{ij}A_{ij} \]

行列式按行（列）展开法则

行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

\(D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{i,n}\) .

备注

\(t(p_1,\dots,p_n)\) ：\(\{p_1,\dots,p_n\}\) 的逆序对。

\(M_{ij}\)：在 \(n\) 阶行列式中，把元素 \(a_{i,j}\) 所在的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列划后，留下来的 \(n－1\) 阶行列式叫做元素 \(a_{ij}\) 的余子式 \(M_{ij}\) .

\(A_{ij}\) ：把 \((-1)^{i+j}M_{ij}\) 称为 \(a_{ij}\) 的代数余子式