单目相机标定原理

 

 

 

 

相机标定目的：
获取摄像机的内参和外参矩阵，同时也会得到每一副标定图像的旋转和平移矩阵。 内参和外参可以对之后相机拍摄的图像就进行矫正，得到畸变相对很小的图像。

 

原理：
成像模型的坐标系为：世界坐标系 --> 相机坐标系 --> 图像坐标系 --> 像素坐标系

先说从相机坐标系到图像坐标系的变换：
从针孔成像模型说起：

 

 

 

 

 

 

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相机坐标系中实际的点坐标为Q（X, Y, Z）
对应的图像（坐标系）平面上的点为 q（x, y , f）

 

理想情况如上所示，但实际上成像芯片的中心通常不在光轴上。

 

 

 

 

原本的焦距是f，这里把f拆成2个不同的焦距，一个是x轴的焦距，一个是y轴的焦距

 

 

因此最终计算的结果为：

 

 

将实际中的点Q（X, Y, Z）映射到投影平面上坐标为 （x , y）的点的过程称为投影变换。

这种变换可以使用齐次坐标。

 

 

 

 

 

 

给q(x, y)增加了一个维度w，即为q(x, y, w)

 

 

 

 

下图所示，网上一些资料中也有这种形式：
x0、y0为在图像平面上的主点坐标，是Cx，Cy的另一种形式，
其中s为坐标轴倾斜参数，理想情况下为0，其他参数都是一样的。

 

 

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我们已经得到了内参矩阵，能够从相机坐标系转换到图像坐标系上，
接下来说如何得到外参矩阵，将其从世界坐标系转换到相机坐标系上

从世界坐标系转换到相机坐标系上属于刚体变换，即不会发生形变，也就是说只有旋转和平移。

公式符号说明：
带有下标 w 的是世界坐标系
带有下标 c 的是相机坐标系

设旋转矩阵为 R， 平移矩阵为 T

 

 

 

 

再把偏移矩阵T加上即可，
偏移矩阵T为 [Tx, Ty, Tz]的转置，是X、Y、Z方向上的平移。

 

 

将旋转矩阵R和偏移矩阵T合起来即得外参矩阵即为:

 

 

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图像坐标系和像素坐标系之间的转换：
像素坐标系和图像坐标系都在成像平面上，只是各自的原点和度量单位不一样。
图像坐标系的原点为相机光轴与成像平面的交点，通常情况下是成像平面的中点或者叫principal point。图像坐标系的单位为mm，属于物理单位，
而像素坐标系的单位是pixel，我们平常描述一个像素点都是几行几列。所以
这两者之间的转换如下：其中dx和dy表示每一列和每一行分别代表多少mm，即1pixel = dx mm
点（u，v）为像素坐标系上的点，对应的图像坐标系上的点为（x，y）

 

 

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有了一系列参数后就能推导整个公式了。（这里借用一下别人的图）

 

 

 

相机的内参和外参可以通过张正友标定获取。通过最终的转换关系来看，
一个三维世界中的坐标点，可以在图像中找到一个对应的像素点，

但是反过来，通过图像中的一个点找到它在三维中对应的点就很困难，因为我们并不知道等式左边的Zc值。这个Zc可近似看做相机坐标系中相机到物体的距离。

在我看来，二维图像中的一个点，对应在三维空间中是一条线，因此如果不知道相机剧被测物体距离，是无法从二维图像上的点推导出三维空间中某个点的坐标的。
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透镜畸变：
（写了这么多，写不动了，透镜畸变原理可以在《学习OpenCV》第11章找到相关内容，挺详细的）