摘要： 如何得出这个积分:$$\int_0^1\log(\sin \pi x)\text{d}x=-\log 2$$ 阅读全文

摘要： 今天看到一个积分$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\text{d}x}{(1+x^2)^{n+1}}$$这个积分比较容易算，用Residue formula，考虑$\Gamma: \{(x,y)|x^2+y^2=R^2,y>0\}\bigcup \{(x,y)-R\leq x \leq R,y=0\}$上的积分就可以了。在$i$点的Residue是$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\pi$,在圆周上的积分趋于0.所以$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\text{d}x}{(1+x^2)^{n+1}}=\frac{(2n 阅读全文

摘要： 明天来算这个积分$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-2\pi i x \xi}}{(1+x^2)^2}\text{d}x$$其中$\xi \in \Bbb{R}$ 阅读全文

摘要： 寂静岭的Promise的确不错，开头的吉他一直刺入内心。那本书接着还让继续算一个积分，我估计应该是欧洲好几百年前的东西。我看了下，发现和刚刚的积分所需的工具是一样的。$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x\sin x}{x^2+a^2}\text{d}x$$ 对所有的$a>0$记得有个台湾的老师经常用他的台湾普通话在他的课堂上说，公式是会说话的。我尝试着对着这个积分看了一会儿，但它什么也没对我说。设一个复函数$$f(z)=\frac{ze^{iz}}{z^2+a^2}$$.任然在$$\Gamma: \{(x,y)|x^2+y^2=R^2,y\geq 0\}\b 阅读全文

摘要： 这几天，突然下了比较大的雪。打算翻出一道积分习题做做。$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2+a^2}\text{d}x$$ 其中$a>0$不知道这个积分是从什么问题中被提出来的(会不会是几百年前某些人研究某个东西得到的？)。打算用Residue formula来算,应该有软件可以自动算这些积分了.（Mathematica应该可以）,不过我机器比较老了。新版的软件总是比较大。还是自己手动算下。算这个函数$$f(z)=\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}$$在$$\{(x,y)|x^2+y^2=R^2,y \geq 0\} \bigc 阅读全文

摘要： 从单调函数开始：定义一个这样的函数:$$f(x)=\begin{cases}0 & x \leq -1 \\ 1-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n}\leq x\leq-\frac{1}{n+1}\\ 1 & x < 0 \end{cases}$$问: $f(x)$ 在$0$点连续吗？补充下单调函数的定义和基本性质:定义:设$f(x)$定义在实数域$\Bbb{R}$上，对任意的$x_1<x_2$,有$$f(x_1)\leq f(x_2)$$,则$f(x)$是单调增函数基本性质一:对每个点$x\in \Bbb{R}$,左极限和右极限都存在,理 阅读全文