广义积分3

今天看到一个积分

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\text{d}x}{(1+x^2)^{n+1}}$$

这个积分比较容易算，用Residue formula，考虑$\Gamma: \{(x,y)|x^2+y^2=R^2,y>0\}\bigcup \{(x,y)-R\leq x \leq R,y=0\}$上的积分就可以了。

在$i$点的Residue是$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\pi$,在圆周上的积分趋于0.

所以$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\text{d}x}{(1+x^2)^{n+1}}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\pi$$