广义积分2

寂静岭的Promise的确不错，开头的吉他一直刺入内心。那本书接着还让继续算一个积分，我估计应该是欧洲好几百年前的东西。我看了下，发现和刚刚的积分所需的工具是一样的。

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x\sin x}{x^2+a^2}\text{d}x$$ 对所有的$a>0$

 

记得有个台湾的老师经常用他的台湾普通话在他的课堂上说，公式是会说话的。我尝试着对着这个积分看了一会儿，但它什么也没对我说。

设一个复函数$$f(z)=\frac{ze^{iz}}{z^2+a^2}$$.

任然在$$\Gamma: \{(x,y)|x^2+y^2=R^2,y\geq 0\}\bigcup \{(x,y)|-R\leq x \leq R, y=0\}$$ ,其中$R>a$

上用Residue formula算，得到

$$\int_{\Gamma}\frac{ze^{iz}}{z^2+a^2}\text{d}z=2\pi i \times \frac{e^{-a}}{2}=i \pi e^{-a}$$

在圆弧上的积分当$R\rightarrow +\infty$的时候，是趋于0的.$$\left|\int_{\Gamma_R}f(z)\text{d}z\right| \leq M\left|\int_0^{\pi}e^{-R\sin \varphi}\text{d}\varphi \right| \rightarrow 0$$

最后取虚部，就得到了结果

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x\sin x}{x^2+a^2}\text{d}x = \pi e^{-a}$$

 

虽然我可以去算这个积分，但我不知道这个积分到底是干什么用的。除去练习的作用。我不知道它活着的意义。