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\(【定理内容】若\exists N_{0}，当n>N_{0}时，有a_{n}\leqslant b_{n},则lim_{n\to \infty}a_{n}\leqslant lim_{n\to\infty}b_{n}\) （注意，不是数列极限的保号性） \(说明，前提条件是从某项开始，所有项都满足 阅读全文
posted @ 2020-08-05 09:07
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待证 阅读全文
posted @ 2020-08-04 16:35
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无穷有界数列，必有收敛子列（待证） 阅读全文
posted @ 2020-08-04 15:48
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只证上界存在，下界同理。 【证明】 反证法，假设f(x)在闭区间[a,b]上连续，假设没有上界 \(则\forall n\in N,\exists x_{n}\in [a,b],\) \(有f(x_{n})>n\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1)\) \(因为x_{n} 阅读全文
posted @ 2020-08-04 15:33
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数学分析提纲 1 实数理论 1.1有限闭区间上连续函数的性质 阅读全文
posted @ 2020-08-04 12:59
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【定理】如果一个闭区间能够被一个开区间集合覆盖，则从中可以选出有限个开区间，覆盖住该闭区间。 【证明】 设闭区间[a,b]被开区间集合I覆盖。 用反证法，假设从中不能选出有限个开区间对[a,b]覆盖。 \(取[a,b]中点c，将[a,b]分为两个区间[a,c],[c,b],则这两个区间中必有有一个不 阅读全文
posted @ 2020-08-03 16:25
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以下内容来自中科大数学分析教程P73,定理2.4.7 \(函数在x_{0}点的极限的定义\) \(若存在l，\forall \epsilon>0，\exists\delta>0，使得当|x-x_{0}|<\delta\) \(则有|f(x)-l|<\epsilon,即称l为f(x)当x趋近于x_{0 阅读全文
posted @ 2020-08-02 13:16
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以下证明，来自华东师范大学数学分析第三版，但是证明最后，闭区间套定理的应用，做了改动，书中使用了某个闭区间套的引理，我改成了直接证明，不用任何引理 \(数列的柯西收敛准则证明-华东师大构造数列闭区间套证明法\) \(华东师范大学数分教材用的是构造数列，构成闭区间套证明法。\) \(中科大数分教材是用 阅读全文
posted @ 2020-08-01 12:58
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中科大的证法是利用子列收敛，华东师范大学是利用构造一个数列 【数列的柯西收敛准则】 \(数列a_{n}收敛的充要条件是,若\forall \epsilon>0,\exists N,\forall m,n>N，\) $有|a_-a_|<\epsilon\$ \(【说明】其含义是，数列a_{n}随着n趋 阅读全文
posted @ 2020-08-01 10:35
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\(设f(x)是[a,b]上连续函数，则f(x)在[a,b]上必然一致连续\\\) \(证明：因为f(x)在[a,b]上连续，所以任取[a,b]内一点x_{0}，任给\frac{\epsilon}{2}>0\) \(\exists\delta(x_{0})>0,对于任何x\in[a,b]，且异于x_ 阅读全文
posted @ 2020-07-30 12:48
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