有界闭区间内的连续函数必然有界

只证上界存在，下界同理。
【证明】
反证法，假设f(x)在闭区间[a,b]上连续，假设没有上界
\(则\forall n\in N,\exists x_{n}\in [a,b],\)
\(有f(x_{n})>n\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1)\)
\(因为x_{n}\in[a,b]，故x_{n}有界\)
\(故，可从中取出一个收敛子列，记为x_{n_{k}}，由(1)式有f(x_{n_{k}})>n_{k}\)
\(lim_{n_{n_{k}}\to\infty}f(x_{n_{k}})=+\infty\quad\quad(2)\)
\(因为lim_{n_{k}\to\infty}x_{n_{k}}=x_{0}\)
\(所以,根据连续函数定义，可得：lim_{n_{k}\to\infty}f(x_{n_{k}})=f(x_{0})\)
\(与(2)式矛盾\)
\(证毕\)
\(下界同理\)

【注意】
\(如果是开区间，则有的函数有界，例如y=x,在开区间(0,1)上连续，且有界\)
\(但是f(x)=\frac{1}{x}在开区间(0,1)连续，但是无界，当x\to 0时,f(x)\to+\infty\)