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摘要： 多项式各种运算都是在 \(\pmod {x^n}\) 的意义下进行的。 牛顿迭代 多项式操作大量用到牛顿迭代思想，举个简单的例子： 如果 \(f(x)=x^2+7x+3\)，求一个根，可以设置一个合理的初值比如 \(0\)， 然后不断计算 \(x=x-\frac{f(x)}{f'(x)}\)，几何上 阅读全文

摘要： Stern-Brocot树可以用于逼近一个分数，首先定义下确界和上确界，然后不断向左或者右平均。 \(L=\frac{0}{1},R=\frac{1}{0}\)。实际上也可以把下确界定为负无穷 \(-\frac{1}{0}\)。 假定现在要逼近到 \(\frac{3}{7}\)。 \(L=\frac 阅读全文

摘要： 给出 \(n,m,a,b\)，求 \(\sum_{i=0}^{n-1} \lfloor \frac{a \times i + b}{m} \rfloor\)。 \(a \ge 0,b \ge 0\) 的情况。 若 \(a \ge m\)，可以先把整除部分拿出来，结果为 \(\lfloor a/m \ 阅读全文

摘要： 考虑由 \(n\) 个 \(+1\) 和 \(n\) 个 \(-1\) 构成的 \(2n\) 项序列，如果任意位置的前缀和非负，这样的序列的个数为 \(C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\)。对应为第 \(n\) 个卡特兰数。 满足典型的案例如： 括号序列匹配（左括号大于等 阅读全文

摘要： 第一类斯特林数 \({n \brack m}\) 表示将 \(n\) 个不同元素排为 \(m\) 个圆排列的方案数。 很显然，\({n \brack m}\) 可以由 \({n-1 \brack m-1}\) 和 \({n-1 \brack m}\) 演化而来。 前者相当于最后一个元素新开一组；后者 阅读全文

摘要： 基本定义 如果离散随机变量的取值可以为 \(x_1,x_2...x_n\)，则离散随机变量的期望的定义为： \(E(X)=\sum x_iP(X=x_i)\)，比如定义掷骰子活动的随机变量的值为骰子向上一面的数字，则其期望为： \(E(X)=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac 阅读全文

摘要： 抛开最基本的中学课内概念和一些高端严格的定义，讲一下自己对算竞层面的概率的一些理解和重要方法。 基本概念 以掷三个硬币为例讲几个概念，以 \(H\) 代表正面，\(T\) 代表反面。 样本点 \(\omega\)：实验的基本结果称为样本点，本例中每轮掷硬币的结果为一个样本点。比如 \(HHT\)。 阅读全文

摘要： 生成函数用于解决一些计数问题，其运用的一个非常重要的工具是形式幂级数。 形式幂级数中，各项的系数代表方案数，各项的幂次代表个数。 常生成函数 (Ordinary Generating Function) 比如有四种水果： 苹果的个数是偶数：\(1+x^2+x^4+x^6+x^8+...=\frac{ 阅读全文

摘要： 设 \(S\) 是一个有限集合，\(P_1,P_2\) 是指的某种性质，相应的 \(A_1,A_2\) 是 \(S\) 中具有这两个性质的元素构成的子集。 具有任一性质的元素构成的集合大小 \(|A_1 \cup A_2|=|A_1|+|A_2|-|A_1 \cap A_2|\) 可以画出文氏图，等 阅读全文

摘要： 考虑一个无根树，每次取掉最小的叶结点，并记录该叶结点所连的点，直到最后只剩下两个点。记录的数字形成的序列即为prufer序列。 考虑上图，prufer序列为： 取掉 \(2\)，记录 \(6\)； 取掉 \(4\)，记录 \(3\)； 取掉 \(3\)，记录 \(1\)； 取掉 \(5\)，记录 \ 阅读全文