斯特林数

第一类斯特林数

\({n \brack m}\) 表示将 \(n\) 个不同元素排为 \(m\) 个圆排列的方案数。
很显然，\({n \brack m}\) 可以由 \({n-1 \brack m-1}\) 和 \({n-1 \brack m}\) 演化而来。
前者相当于最后一个元素新开一组；后者相当于将最后一个元素插入原来的组，由于是圆排列，所以一共有 \(n-1\) 个不同位置可以插入，故结果为 \({n \brack m}={n-1 \brack m-1}+(n-1){n-1 \brack m}\)。
边界条件：\({n \brack 0}=[n=0],{0 \brack m}=[m=0]\)。

第二类斯特林数

\({n \brace m}\) 表示将 \(n\) 个不同元素划分为 \(m\) 个子集的方案数。
很显然，\({n \brace m}\) 可以由 \({n-1 \brace m-1}\) 和 \({n-1 \brace m}\) 演化而来。
前者相当于最后一个元素新开一组；后者相当于将最后一个元素插入原来的组，由于不计组内顺序，所以一共有 \(m\) 个不同的组可以插入，故结果为 \({n \brace m}={n-1 \brace m-1}+m{n-1 \brace m}\)。
边界条件：\({n \brace 0}=[n=0],{0 \brace m}=[m=0]\)。

假定 \(n\ne 0\)，有几个性质：

\( \begin{array}{|c|c|c|} \hline & 第一类斯特林数 & 第二类斯特林数 \\ \hline S(n,0) & 0 & 0 \\ S(n,n) & 1 & 1 \\ S(n,1) & (n-1)! & 1 \\ S(n,n-1) & \binom{n}{2} & \binom{n}{2} \\ S(n,2) & (n-1)!\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i} & 2^{n-1}-1 \\ S(n,n-2) & 2\binom{n}{3}+3\binom{n}{4} & \binom{n}{3}+3\binom{n}{4} \\ \hline \end{array} \)

生成函数形式

第一类斯特林数可以写为生成函数形式
\(G(n)=x(x+1)(x+2)...(x+n-1)\)
证明：对于 \(n=1\) 时，\(G(1)=x\)，只有分为 \(1\) 组时有解，解为 \(1\)。
假定 \(G(n)=x(x+1)(x+2)...(x+n-1)\) 成立，
由递推关系 \({n \brack m}={n-1 \brack m-1}+(n-1){n-1 \brack m}\)
\(G(n+1)=xG(n)+nG(n)=G(n)(x+n)\)，因而得证。