卡特兰数

考虑由 \(n\) 个 \(+1\) 和 \(n\) 个 \(-1\) 构成的 \(2n\) 项序列，如果任意位置的前缀和非负，这样的序列的个数为 \(C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\)。对应为第 \(n\) 个卡特兰数。

满足典型的案例如：
括号序列匹配（左括号大于等于右括号）、进出栈序列（进栈大于等于出栈）、不穿越对角线的方格路径（横向次数大于等于纵向）、二叉树计数。

卡特兰数有一个递推公式：
\(C_n=C_0C_{n-1}+C_1C_{n-2}+C_2C_{n-3}...C_{n-1}C_0\)，有时候观察题目的结果满足这样的性质。

更多的是用在变种的不穿越对角线的方格路径计数上。考虑一个既不是正方形，也不在对角线的情况。

求 \(S \rightarrow T\) 的路径数，直接组合计数 \(\binom{13+6}{6}\)。
在 \(S\) 下方 \(3\) 格有一条红线，现在要求不能跨过红线。可以在红线外侧再画一根蓝线，问题等价于不能碰触蓝线。
此时可以找到 \(S\) 关于蓝线的镜像点，任何碰触蓝线的路径都可以唯一地与 \(S'\) 到该碰触点的路径对应。方式为首次碰触前横竖移动对调，首次碰触后移动保持一致。
所以从 \(S \rightarrow T\) 的合法方案数即为总方案减去 \(S' \rightarrow T\) 的方案。
结果为：\(\binom{13+6}{6}-\binom{13+6}{6-4}\)。
总结为如果原来的横向为 \(n\)，纵向为 \(m\)，边界在起点下方 \(b\) 处，则合法方案为 \(\binom{n+m}{m}-\binom{n+m}{m-(b+1)}\)。当然，如果 \(b=m\)，则边界正好在角落，就不可能越界，从公式看，组合数第二项为 \(0\)。

还有一种情况，边界线在 \(S\) 的右侧。

如果红线在 \(S\) 右侧 \(8\) 格，结果为：\(\binom{13+6}{6}-\binom{13+6}{13-9}\)。
总结为如果原来的横向为 \(n\)，纵向为 \(m\)，边界在起点右方 \(b\) 处，则合法方案为 \(\binom{n+m}{n}-\binom{n+m}{n-(b+1)}\)。当然，如果 \(b=n\)，则边界正好在角落，就不可能越界，从公式看，组合数第二项为 \(0\)。
此外，此构型下，如果红线向左 \(2\) 格，如果不跨线将无法到达终点。
此时公式计算结果为 \(\binom{13+6}{6}-\binom{13+6}{13-7}=0\)。
如果再走一步 \(\binom{13+6}{6}-\binom{13+6}{13-6}<0\)，这是因为从 \(S' \rightarrow T\) 的路径并不完全对应 \(S \rightarrow T\) 的跨蓝线路径，因为 \(S'\) 已经可以不经过蓝线到达 \(T\) 了。

总结，边界线在哪条边上，组合数的下部分就是那条边的长度减去 (距离+1)。如果边界线在长边上，那么距离至少应该为 长边-短边，否则无解。