期望相关

基本定义

如果离散随机变量的取值可以为 \(x_1,x_2...x_n\)，则离散随机变量的期望的定义为：
\(E(X)=\sum x_iP(X=x_i)\)，比如定义掷骰子活动的随机变量的值为骰子向上一面的数字，则其期望为：
\(E(X)=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{6}{6}=\frac{7}{2}=3.5\)。
若有另一个随机变量 \(Y=f(X)\)，则 \(Y\) 的期望为
\(\sum y_iP(x_i)=\sum f(y_i)P(x_i)\)。

概率转期望

设离散随机变量取值范围为 \(1\sim n\)，则
\(E(X)=P(X \ge 1)+P(X \ge 2)+...+P(X \ge n)\)
证明：
\(E(X)=\sum x_iP(x_i)=1P(1)+2P(2)+3P(3)...+nP(n) \\= \sum_{i=1}^n P(i)+\sum_{i=2}^n P(i)+\sum_{i=3}^n P(i)+...\sum_{i=n}^n P(i) \\=P(X \ge 1)+P(X \ge 2)+...+P(X \ge n)\)
有时候等号右侧用组合数比较好算。

期望的线性性

• \(E(aX+b)=aE(X)+b\)。
  证明：\(E(aX+b)=\sum (ax_i+b)P(x_i)=a\sum x_iP(x_i)+b\sum P(x_i)=aE(X)+b\)。
• \(E(f(X)+g(X))=E(f(X))+E(g(X))\)。
  证明：\(E(f(X)+g(X))=\sum (f(x_i)+g(x_i))P(x_i) \\ =\sum f(x_i)P(x_i)+ \sum g(x_i)P(x_i)=E(f(X))+E(g(X))\)。
  如果令 \(X'=f(X),Y'=f(Y)\)，也可以写作 \(E(X'+Y')=E(X')+E(Y')\)

后一条非常重要，求多个随机变量之和的期望的时候，可以单独求各个的期望，再加起来。

方差

\(Var(X)=\sum (x_i-E(X))^2P(x_i) \\ =\sum x_i^2P(x_i)-2x_iE(X)P(x_i)+(E(X))^2 \\ =E(X^2)-2E(X)\sum x_iP(x_i)+(E(X))^2 \\ =E(X^2)-(E(X))^2\)
此为重要公式。
设 \(Y=aX+b\)，则
\(Var(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2 \\ =E(a^2X^2+2abX+b^2)-(E(aX+b))^2 \\ =a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2-(aE(X)+b)^2 \\ =a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2-a^2(E(X))^2-2abE(x)-b^2 \\ =a^2E(X^2)-a^2(E(X))^2=a^2Var(X)\)

典型分布

二项分布

在伯努利试验中，单次试验事件 \(A\) 的发生概率为 \(p\)。
\(n\) 次试验的期望为 \(np\)，方差为 \(np(1-p)\)。

泊松分布

记 \(X\) 为事件 \(A\) 发生的次数。
如果 \(P(X=k)=\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}\)
期望和方差都是 \(\lambda\)。

几何分布

在伯努利试验中，记 \(X\) 为事件 \(A\) 首次出现时的试验次数。
\(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\)。
期望为 \(\frac{1}{p}\)，方差为 \(\frac{1-p}{p^2}\)。