摘要：
二阶矩，方差，切比雪夫不等式 我们可以验证如果两个随机变量$X,Y$是独立的，那么一定满足$E[X\cdot Y]=E[X] \cdot E[Y]$。只需根据定义把右侧表示出来，$E[X] \cdot E[Y]$$=\left(\sum\limits_{x}x\Pr[X=x]\right)\left 阅读全文
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## Tournament的一个上界 我们再来看一个类似Ramsey Number的例子，它同样也体现了当$n$足够大时某个结构一定会出现这一性质。 Tournament Graph是一张有向图$G(V,E)$，其中任何两个点之间都有且仅有一条有向边，其中$x \to y$的有向边表示$x$赢了$y 阅读全文
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## 平衡性 红黑树是一种平衡树，它首先满足二叉排序树的所有性质。我们在它的每个节点上定义一个颜色——红色或黑色。颜色必须满足以下三个性质： 1. 根节点是黑色的。 2. 红色节点的儿子必须是黑色的。（等价于：不能出现两个连续的红色节点） 3. 对于任意一个节点$u$，在它的子树中，从它出发到所有空 阅读全文
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离散概率本质上依然是组合计数，但引入概率论的概念能够让我们的讨论更加直观更加方便。 ## 概率 麦克斯韦说：“我们这个世界的真正逻辑寓于概率的计算之中。”这句话强调了概率的空前的重要性。但仔细想想，我发现我其实并不真的知道“概率”指的是什么。我们平时在生活中经常使用“机会”或“可能性”这样的词，通常 阅读全文
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## 线性规划问题 线性规划问题指的是：给定若干个变量，这些变量满足一系列线性等式关系或线性不等式关系，要在满足这些关系的前提下求出某个这些变量的线性函数的最大值或最小值。 我们可以用“归约”的思想把线性规划问题的描述统一为标准的形式，称为“标准型”：首先我们可以把问题归约为所有自变量都是正数的情况 阅读全文
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重积分是对平直空间的积分，现在我们想要研究弯曲空间上的积分。这种积分可以根据其“物理意义”分为两类：一类是对弯曲空间上的标量做积分，这类问题可以归约为“给定密度求质量”，例如给定每点处的线密度求曲线的质量，给定每点处的面密度求曲面的质量；一类是对弯曲空间上的向量做积分，例如计算沿某路径的力做的功，通 阅读全文
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在给定函数$P \to\R$的两个$f,g$（可以看作列数为1的矩阵）满足$f(x)=\sum\limits_{x \leq y}g(y)$时，可以把它转化为$f=\zeta g$，那么就等价于$\zeta^{-1}f=g$，即$g=\mu f$。展开即为$g(x)=\sum\limits_{y}\mu(x,y)f(y)$。由于只有$x \leq y$时关联代数才不为0，因此可以进一步写为$g(x)=\sum\limits_{x \leq y}\mu(x,y)f(y)$。 阅读全文
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偏序集的定义 我们要讨论偏序集，与它对应的是我们熟悉的“全序集”。比如，实数就是一个全序集，给定任意两个实数$a,b$，那么“$a \leq b$”和“$b \geq a$”中总有一个是成立的，所以这种“序结构是完全的”，任何两个元素都可以“比较大小”。而对于偏序集来说，这却是不一定的。我们定义的一 阅读全文
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## 面积，测度 我们在一元时已经建立了定积分的概念，并用“曲边梯形的面积”这一几何意义来理解它。我们知道定积分其实是Riemann和的极限，那么我们很容易自然地把它推广到多元函数——二元函数的积分应当表示“曲顶主体的体积”等等。 我们在推广时遇到的第一个问题在于多元下的“划分”该如何定义。在给一元 阅读全文
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## 谐振子 在物理学的不同领域甚至别的学科中，出现的方程式往往是完全一样的，这导致不同领域中会有相似的现象。因此对一个领域的研究可以扩展我们对另一个领域的认识，我们从一开始就应到认识到这种扩展的可能性，才能坚定地为此付出时间和精力。 学习谐振子本质上是在学习“常系数线性微分方程”。一般的$n$阶常 阅读全文
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## 最小生成树 在无向图中选出$|V|-1$条边，使得生成树的边权和最小，这就是最小生成树问题。 ### Kruscal算法 我们有一个看上去有些草率的做法：给所有边按照权值从小到大排序，假设所有边都消失了，那么以从小到大的顺序加边（如果这条边对应的两点间已经有路径就跳过不加），等到加完第$|V| 阅读全文
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## 图的广度优先搜索 在DFS中，一旦发现一个新节点就会立即执行从它开始的递归，这个算法一开始执行就会离源点越来越远，因此称为“深度优先”。这种搜索方式与“栈”后进先出的特性是相同的，我们甚至可以避免递归而用“栈”来实现图的深度优先搜索。 与“后进先出”的栈相对应是“先进先出”的“队列”。把源点推 阅读全文
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## 无向图的深度优先搜索 ### 深度优先搜索的算法过程 在图上做DFS时，我们从某个点出发，递归地访问所有与该节点有边相连的节点。在这个过程中，我们用数组vis记录下每个点是否被访问过，在每次访问相邻节点的时候只访问那些没有被访问过的，由此来保证每个节点只被访问一次。如果我们不停找没有被访问过的 阅读全文
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现在，我们想要研究不止一个质点的运动学。首先要指出，在质点系的运动学时，除了不停应用牛顿定律的组合以外，没有任何新的东西。而这样的组合很多时候是复杂的。我们的工作是找到一些方法，来使得复杂的分析变得简单。 二维空间中的转动 质心 当我们把一串木块抛到空中时，尽管每个木块都将做着复杂的运动，但我们能大 阅读全文
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字符串匹配的基本方法就是，逐位移动模式串，检查当前位置是否匹配。似乎只有这样才能够不遗漏地检查所有可能匹配上的情况。容易发现，这样做的复杂度是$O(nm)$的。而事实是，我们可以做到比这更好。 ## KMP 我们来考虑我们基本做法中的一个环节。当我们把模式串放在某个位置从头开始匹配时，在某一位的时候 阅读全文
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## 乘法的优化 暴力的乘法复杂度是$O(n^2)$的。 如果两个$n$位数$x,y$相乘（我们保证$n$是2的幂），那么我们按位把$x$分成$x_L,x_R$两半，$y$分成$y_L,y_R$，使得$x=x_L \cdot 2^{n/2}+x_R,y=y_L \cdot 2^{n/2}+y_R$。 阅读全文
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定义与严格化 对于一个数列${a_n}$，我们可以定义一个关于$z$的函数$F(z)=\sum\limits_{n \geq 0}a_nz^n$。这个函数就称为这个数列对应的生成函数。 生成函数实际上并不是数学分析意义中的多项式函数，这里的$z$并不是某个实数或复数，而是一个形式上的数，所对应的级数 阅读全文
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## 多元函数的微分 微分是对函数某一点附近的线性逼近，这一点在多元函数中依然是核心思想。 ### 偏导数 在一元函数的微分学中第一个被引进的概念就是“导数”，它本质上是一个极限，用线性的方式反应了函数在该点处的“变化率”。在多元函数中，我们想类比的定义“导数”。 由于自变量有多个， 我们先不同时考 阅读全文
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我们想要求出的是所有性质都不满足的元素，所以满足某条性质就是件“坏事”。所有满足某条性质的元素的集合就是一个“坏集合”。相反，所有性质都不满足的元素就是“好的”。坏集合以及坏集合的交是容易计算的。我们想要通过一种方法把各种坏集合的交集加加减减来求出好集合的大小，这就是容斥原理。 阅读全文
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如果数同一个东西有两种不同的数法，那么两种数法的表达式对应的结果必然相等。这样的组合证明方法叫做Double Counting。 阅读全文
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有$k$个球，装进$n$个箱子里，问有几种方案？分别讨论球是否相同，箱子是否相同，每个箱子至少一个、至多一个、没有限制，共12种不同情况。 阅读全文
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## 基本算数 一个整数可以用物体的个数来表示。比如用8个点我们就能表示数字8。但这样的话对于大的数字我们就必须用非常多的点，造成了不方便。因此为了更方便地表示一个数，我们通常要选择一个进制。我们在日常生活中常用的是10进制，在计算机中常用的是2进制，等等。 数$N$在$a$进制下需要$\log_a 阅读全文
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Euclid空间 对向量定义了加法和数乘，满足对加法和数乘封闭以及八条基本性质的空间称为线性空间。在线性空间的基础上定义两个向量的内积运算并满足正定律、交换律和分配律这三条性质的空间称为内积空间。在线性空间的基础上，定义向量的范数并满足正定律、三角不等式和提取常数范数这三条性质的空间称为赋范空间。在 阅读全文