行而上

摘要： 我们从物质的内部结构——原子的观点——出发得到了一套分子动理论，这是从统计力学的角度来研究物质性质。历史上人们在了解物质内部的具体结构之前就已经得到了许多物质之间的关系，这部分内容发展为了“热力学”。这门学科起源于如何制造最好的和最有效的“热机”这一工程学课题。人们发现“热”可以用来“做功”，例如蒸 阅读全文

摘要： 现在开始讨论一个新的课题：从“物质由大量原子组成，它们之间存在着电相互作用，并遵从力学定律”这种物理观点出发，我们企图了解为什么不同的原子集合会表现出它们所具有的特色。这是一个困难的课题，它和力学和电学有着很大的不同：在学习力学和电学的过程中，我们能够从某些基本定律出发本质地理解一大批现象，再以这些 阅读全文

摘要： Fourier在研究热传导的问题时，用$\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx+b_n\sin nx)$的形式来表示一个周期为$2\pi$的函数$f(x)$，取得了很成功的结果。于是他猜测任何以$2\pi$为周期的函数都可以用这种三 阅读全文

摘要： 现在我们想用线性代数的方法来研究组合数学问题。 ## 邻接矩阵的特征值 对于任意的无向图$G=(V,E)$（假设不带边权），它可以用邻接矩阵$A_G$来表示。$A_G$是一个对称矩阵，因此它一定有$n$个实数特征值。我们把它们记为$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdo 阅读全文

摘要： ## 信息熵 不同的话语包含的信息量是不一样的。一句短小的话可能包含着很大的信息量，而一句冗长的话可能只含有一点点信息量。因此我们想知道一句话所包含的信息量，但看它的长度肯定是不对的，而是应该看它以最好的方式被压缩以后长度是多少。 我们把一句话看作一个二进制串，更一般地，一句话应当是一个随机生成的二 阅读全文

摘要： ## 引言 在数分课上讲到Green、Gauss、Stokes公式这一节时，对这些公式没能很快的理解，很大程度上是因为对梯度、散度、旋度的概念没有直观感受，同时对算子$\nabla$的含义经常产生混淆。恰好课上老师提到了费恩曼对这些公式有过一个直观的理解，于是去读了费恩曼的书，并对场论产生了兴趣，所 阅读全文

摘要： ## 函数项级数的点态收敛性 在一个数项级数中，每个项都是一个常数：$a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$。现在有一系列数项级数，我们可以把每一项都看作是关于某个自变量$x$的函数$a_i(x)$，这样我们也得到一个“级数”$a_1(x)+a_2(x)+\cdots+a_n(x)+\ 阅读全文

摘要： ## 洛瓦兹局部引理(Lovász Local Lemma, LLL) 给定一个“坏事件”的集合$\mathcal{B}=\{B_1,\cdots,B_m\}$，其中$\Pr[B_i]0$。其中$e$是自然对数。 我们之后将会对更一般的情况给出证明，这里我们先来通过例子来进一步LLL在说什么。 如果 阅读全文

摘要： 二阶矩，方差，切比雪夫不等式 我们可以验证如果两个随机变量$X,Y$是独立的，那么一定满足$E[X\cdot Y]=E[X] \cdot E[Y]$。只需根据定义把右侧表示出来，$E[X] \cdot E[Y]$$=\left(\sum\limits_{x}x\Pr[X=x]\right)\left 阅读全文

摘要： ## Tournament的一个上界 我们再来看一个类似Ramsey Number的例子，它同样也体现了当$n$足够大时某个结构一定会出现这一性质。 Tournament Graph是一张有向图$G(V,E)$，其中任何两个点之间都有且仅有一条有向边，其中$x \to y$的有向边表示$x$赢了$y 阅读全文

摘要： ## 平衡性 红黑树是一种平衡树，它首先满足二叉排序树的所有性质。我们在它的每个节点上定义一个颜色——红色或黑色。颜色必须满足以下三个性质： 1. 根节点是黑色的。 2. 红色节点的儿子必须是黑色的。（等价于：不能出现两个连续的红色节点） 3. 对于任意一个节点$u$，在它的子树中，从它出发到所有空 阅读全文

摘要： The true logic of this world is in the calculus of probabilities. ——James Clerk Maxwell 我们平时在生活中经常使用“概率”、“机会”或“可能性”这样的词，通常我们是在做一种猜测或做一种预判。为什么我们要猜测呢？因为 阅读全文

摘要： ## 线性规划问题 线性规划问题指的是：给定若干个变量，这些变量满足一系列线性等式关系或线性不等式关系，要在满足这些关系的前提下求出某个这些变量的线性函数的最大值或最小值。 我们可以用“归约”的思想把线性规划问题的描述统一为标准的形式，称为“标准型”：首先我们可以把问题归约为所有自变量都是正数的情况 阅读全文

摘要： 重积分是对平直空间的积分，现在我们想要研究弯曲空间上的积分。这种积分可以根据其“物理意义”分为两类：一类是对弯曲空间上的标量做积分，这类问题可以归约为“给定密度求质量”，例如给定每点处的线密度求曲线的质量，给定每点处的面密度求曲面的质量；一类是对弯曲空间上的向量做积分，例如计算沿某路径的力做的功，通 阅读全文

摘要： 动态规划就是DAG上的最短路。 阅读全文

摘要： 千里の道も一歩から～ 阅读全文

摘要： 在给定函数$P \to\R$的两个$f,g$（可以看作列数为1的矩阵）满足$f(x)=\sum\limits_{x \leq y}g(y)$时，可以把它转化为$f=\zeta g$，那么就等价于$\zeta^{-1}f=g$，即$g=\mu f$。展开即为$g(x)=\sum\limits_{y}\mu(x,y)f(y)$。由于只有$x \leq y$时关联代数才不为0，因此可以进一步写为$g(x)=\sum\limits_{x \leq y}\mu(x,y)f(y)$。 阅读全文

摘要： 偏序集的定义 我们要讨论偏序集，与它对应的是我们熟悉的“全序集”。比如，实数就是一个全序集，给定任意两个实数$a,b$，那么“$a \leq b$”和“$b \geq a$”中总有一个是成立的，所以这种“序结构是完全的”，任何两个元素都可以“比较大小”。而对于偏序集来说，这却是不一定的。我们定义的一 阅读全文

摘要： ## 面积，测度 我们在一元时已经建立了定积分的概念，并用“曲边梯形的面积”这一几何意义来理解它。我们知道定积分其实是Riemann和的极限，那么我们很容易自然地把它推广到多元函数——二元函数的积分应当表示“曲顶主体的体积”等等。 我们在推广时遇到的第一个问题在于多元下的“划分”该如何定义。在给一元 阅读全文

摘要： ## 谐振子 在物理学的不同领域甚至别的学科中，出现的方程式往往是完全一样的，这导致不同领域中会有相似的现象。因此对一个领域的研究可以扩展我们对另一个领域的认识，我们从一开始就应到认识到这种扩展的可能性，才能坚定地为此付出时间和精力。 学习谐振子本质上是在学习“常系数线性微分方程”。一般的$n$阶常 阅读全文

摘要： ## 最小生成树 在无向图中选出$|V|-1$条边，使得生成树的边权和最小，这就是最小生成树问题。 ### Kruscal算法 我们有一个看上去有些草率的做法：给所有边按照权值从小到大排序，假设所有边都消失了，那么以从小到大的顺序加边（如果这条边对应的两点间已经有路径就跳过不加），等到加完第$|V| 阅读全文

摘要： ## 图的广度优先搜索 在DFS中，一旦发现一个新节点就会立即执行从它开始的递归，这个算法一开始执行就会离源点越来越远，因此称为“深度优先”。这种搜索方式与“栈”后进先出的特性是相同的，我们甚至可以避免递归而用“栈”来实现图的深度优先搜索。 与“后进先出”的栈相对应是“先进先出”的“队列”。把源点推 阅读全文

摘要： ## 无向图的深度优先搜索 ### 深度优先搜索的算法过程 在图上做DFS时，我们从某个点出发，递归地访问所有与该节点有边相连的节点。在这个过程中，我们用数组vis记录下每个点是否被访问过，在每次访问相邻节点的时候只访问那些没有被访问过的，由此来保证每个节点只被访问一次。如果我们不停找没有被访问过的 阅读全文

摘要： 现在，我们想要研究不止一个质点的运动学。首先要指出，在质点系的运动学时，除了不停应用牛顿定律的组合以外，没有任何新的东西。而这样的组合很多时候是复杂的。我们的工作是找到一些方法，来使得复杂的分析变得简单。 二维空间中的转动 质心 当我们把一串木块抛到空中时，尽管每个木块都将做着复杂的运动，但我们能大 阅读全文

摘要： 字符串匹配的基本方法就是，逐位移动模式串，检查当前位置是否匹配。似乎只有这样才能够不遗漏地检查所有可能匹配上的情况。容易发现，这样做的复杂度是$O(nm)$的。而事实是，我们可以做到比这更好。 ## KMP 我们来考虑我们基本做法中的一个环节。当我们把模式串放在某个位置从头开始匹配时，在某一位的时候 阅读全文